重力落下の問題です。

問題が
「t=0で物体Aを初速度0で落下させる。時間がt1秒経過した後に、
今度は下向きの速度v1で物体Bを落下させる。物体Bが物体Aに
追いつくには、t1とv1がどのような条件を満たしていなければ
ならないか」
というものです。

自分なりにその問題の載っているテキストなどを参照しながら、
以下のように考えたのですが、これで考え方は合っていますでしょうか？
また、これが合っているとしても条件をどのように出したらよいのか
わかりません。ご指摘くださると助かります。

物体Bが物体Aに追いつくまでの時間をt2として
物体Aの位置をXAとすると、
XA=-(1/2)g(t1+t2)^2 + x0
物体Bの位置をXBとすると、
XB=-(1/2)gt2^2 + v1t2 + x0
追いつくため、XA = XB

ということで考え方は合っていますでしょうか？

No.4 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/22 01:10

　ｖ１＝ｇｔ１となるのはｔ１＝０、ｖ１＝０のときに限られ、これは両者を同時に自由落下させることを意味します。

　一方「追いつく」というのは遅れていた（より上方にあった）ＢがＡと同じ高さになるということなのでｔ１＝０は考えなくてもいいと思います。
　従って不等号に＝は不要で、「従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は少なくとも物体Ａと同じ（Ａより大かも）でなければＢがＡに追いつくことはない」は「従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は物体Ａより大でなければＢがＡに追いつくことはない」となります。

この回答への補足

gohtrawさん
回答ありがとうございました！
確かにt1=0になると、最初から同時に落としたことになりますしね。
本当に助かりました！

補足日時：2009/09/22 20:10

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2009/09/22 00:43

コメントにお答えします。

＞＞＞
下向きの力Fのみをプラスにしてしまうと
v1・tの符号がFをマイナスで考えた時の符号と異なってしまうのは
大丈夫なんでしょうか？

上向きでも下向きでもよいです。
とにかく、位置（座標）、速度、加速度という３つのものの方向を統一すれば大丈夫です。

もちろん、力もです。（加速度　＝　力　÷　質量　ですから）

加速度については、上向きをプラスとして考えれば、ｇの値を
ｇ＝－９．８
としなければいけません。

ｔは、過去か未来かの世界ですので、上記の３つとは別に考えて大丈夫です。

この回答への補足

sanoriさん
>>上向きでも下向きでもよいです。
>>とにかく、位置（座標）、速度、加速度という３つのものの方向を統一すれば大丈夫です。

sanoriさんとgohtrawさんのおかげでこの間違いに気づきました！
お二人ともありがとうございます。

計算も無事解くことができました！

補足日時：2009/09/22 20:07

No.2 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/21 23:53

下向きを負とすると、ＸＢは

-(1/2)gt2^2 - v1t2 + x0
ではないでしょうか。そのうえでＸＡ＝ＸＢとおくと
－（１／２）ｇｔ１＾２－ｇｔ１ｔ２＝－ｖ１ｔ２
（１／２）ｇｔ１＾２＝ｔ２（ｖ１－ｇｔ１）
となります。左辺は正（ゼロ以上かも）でなくてはならないので
Ｖ１＞ｇｔ１（＞＝かも）
となります。

　これでも解けるのですが、実は式は不要で、
ｔ１以降、二つの物体は同じ加速度を受けつつ運動する。従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は少なくとも物体Ａと同じ（Ａより大かも）でなければＢがＡに追いつくことはない。
と考えればｖ１＞ｇｔ１（＞＝かも）が導かれます。
　不等号に＝が付くのはｔ１＝０のとき、つまり同時に自由落下させることを意味しますが、これは「追いつく」ではないように思います。

この回答への補足

gohtrawさん
>>下向きを負とすると、ＸＢは
>>-(1/2)gt2^2 - v1t2 + x0
>>ではないでしょうか。

あー！！sanoriさんへ私の書いた補足内容も含めて理解しました！
そうですよね、下向きの力なんですから、v1は当然マイナスですね！
ありがとうございます。

>>　これでも解けるのですが、実は式は不要で、
>>ｔ１以降、二つの物体は同じ加速度を受けつつ運動する。従ってｔ１における物体Ｂの速度Ｖ１は少なくとも物体Ａと同じ（Ａより大かも）でなければＢがＡに追いつくことはない。
>>と考えればｖ１＞ｇｔ１（＞＝かも）が導かれます。
>>　不等号に＝が付くのはｔ１＝０のとき、つまり同時に自由落下させることを意味しますが、これは「追いつく」ではないように思います。

確かにこちらの方が簡単に出ますね^^；
この場合（上の解き方の場合も）、t1の条件は、t1>0ということで大丈夫ですか？

補足日時：2009/09/22 00:23

この回答へのお礼

gohtrawさん
丁寧な回答ありがとうございました。
2つも解法書いていただいて助かりました！

お礼日時：2009/09/22 20:14

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/09/21 23:35

こんばんは。

面白い問題ですね。

下向きをプラスにした式にしちゃいましょう。
ｇも正の値になります。

そして、ｘ0 を書くのは、この問題の場合は無意味なので、やめましょう。
落とす位置をゼロにすればよいです。

ｘA　＝　１／２・ｇｔ^2
ｘB　＝　１／２・ｇ（ｔ－ｔ1）^2　＋　ｖ1・ｔ

追いつく条件ですが、「ちょうど追いつく」ということではなく追い越してもよいので、
ｘA　≦　ｘB
です。
（そもそも、追いついてから同じ速さで並走するわけではないので）

よって、
１／２・ｇｔ^2　≦　１／２・ｇ（ｔ－ｔ1）^2　＋　ｖ1・ｔ
少し計算して
０　≦　１／２・ｇ（－２ｔ1・ｔ　＋　ｔ1^2）　＋　ｖ1・ｔ　　・・・（あ）

この不等式（あ）を満たすｔが存在すれば、ＢはＡに追いつきます。

しかし、題意からｔの範囲は、
ｔ　≧　ｔ1　　・・・（い）
です。
ということは、連立不等式（あ）、（い）を解けばよいということです。

等式ではなく不等式ですので、両辺に同じ数をかけたり割ったりするときは、符号に注意してください。


ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

sanoriさん
回答ありがとうございます。

>>下向きをプラスにした式にしちゃいましょう。
>>ｇも正の値になります。

下向きの力Fのみをプラスにしてしまうと
v1・tの符号がFをマイナスで考えた時の符号と異なってしまうのは
大丈夫なんでしょうか？

補足日時：2009/09/22 00:12

この回答へのお礼

sanoriさん
丁寧な回答ありがとうございました！
無事解けました！

お礼日時：2009/09/22 20:12