"次の関数の原始関数を求めよ"という問題なのですが、答えが一致しなくて困っています。
計算ソフトを使ってみたりしましたが、よく分かりませんでした。
違っている箇所の指摘をおねがいします。
もしかすると積分定数の違いかもしれません。
教科書の解:
(1) x+cos[x]/(sin[x]+1)
(2) (4/√3)*Tan^(-1)[tan[x/2]/√3]+log[2+cos[x]]
自分の解:
(1) sin[x]/(sin[x]+1) …*
tan[x/2]=t とおくと dx=2cos^2[x/2]dt
∴∫* dx=∫(2t/(1+t^2) )/( (2t/(1+t^2) )+1 )*2/(t^2+1) dt
=∫4t/(1+t)^2*(1+t^2) dt
=∫-2/(1+t)^2 +2/(1+t^2) dt
=2/(1+t) +2Tan^(-1)[t]
=2/(1+tan[x/2])+x //
(2) (2-sin[x])/(2+cos[x])…*
tan[x/2]=t とおくと dx=2cos^2[x/2]dt
∴∫* dx=∫{ (2-2t/(1+t^2)) / (2+(1-t^2)/(t^2+1)) }*2/(t^2+1)・dt
=∫4*(t^2-t+1)/(t^2+3)(t^2+1)dt
=∫2*{ t/(t^2+3)+2/(t^2+3)-1/(t^2+1) }・dt
=∫2{ (1/2)*(t^2+3)'/(t^2+3)+(2/3)*(1/(t/√3)^2+1)-1/(t^2+1) }・dt
=log[t^2+3]+(4/√3)*Tan^(-1)[t/√3]-2tan[t]
=log[tan^2[x/2]+3]+(4/√3)*Tan^(-1)[tan[x/2]/√3]-x //
よろしくおねがいします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)については、教科書の解でもあなたの解でも微分してみるとsin[x]/(sin[x]+1)に一致するので定数項の違いでしょう。
(2/(1+tan[x/2]))'=(cos[x]/(sin[x]+1))'を示します。
2/(1+tan[x/2]) = 2cos[x/2]/(sin[x/2]+cos[x/2])
右辺の分子分母に(sin[x/2]+cos[x/2])を掛ける
= 2cos[x/2](sin[x/2]+cos[x/2])/((sin[x/2]+cos[x/2])^2)
= (2sin[x/2]cos[x/2]+2(cos[x/2])^2)/((sin[x/2])^2+(cos[x/2])^2+2sin[x/2]cos[x/2])
= (sin[x]+1+cos[x])/(1+sin[x])
= 1 +cos[x]/(1+sin[x])
(2)については部分分数展開が間違えているようです。
正しくは、
4*(t^2-t+1)/((t^2+3)(t^2+1)) = 2*((t+2)/(3+t^2) -t/(1+t^2))
です。
この展開で計算を進めれば教科書の解答と一致します。
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