締め切っていない質問がいくつもあるのに、また質問することをお許しください。
小泉義之さんという大学の哲学の先生が著書「ドゥルーズの哲学」(講談社現代
新書:今春発売)のなかで次のように書いておられます。

「円周率πは、無限級数の極限値として定義される実数であるから、いくら計算しても
 πの値は定まらないし、定めることは不可能である。(中略)
 確かにπは存在するが、イデア的(理念的)に存在する。(中略)
 数直線の表象は現実的なものの想像である。これに対して、微分的なものは理念的で
 ある。微分的なものは、表象不可能で想像不可能である。(中略)
 数直線を想像することは、連続体を思考することではないのである。(中略)
 微分的なもののリアリティを、数直線によって保証しようとする因習は、廃止される
 べきである。」

私は、πの値は「離散的にものを数えるための数字」を使って表現することができない
だけであって、確定値が存在しないとは思えないのですが。

実数の連続性を、数直線でイメージするのはダメなのでしょうか。

ちなみに小泉先生は
「0.999・・・=1 こんな等式は絶対に成立しない。9をいくら書いても1には
ならないという直感を手放してはならない。」とも書いておられます。これは
「1=0.99999....は本当? http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339 」を
読む限り、先生の誤解だと思うのですが。

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A 回答 (10件)

Durandalさんに一票


πも0.999・・・=1も桁数が有限の小数で書き表すことが出来ないだけでしょ。
そんなの表記の違いだけじゃん。
たとえば、3.14と書くと円周率の小数点以下第二位までの近似値であり円周率そのものではない。3.141と書いても桁が増えただけでやっぱり円周率じゃない。3.14159265…と書きつづけている場合のみ円周率になる。ただし、書くのをやめた時、円修理との近似値になってしまう。
0.999…も同様に、書きつづけることをやめた時、1ではなくなってしまう。
無限の労力を惜しまなければ、無限に書きつづけられる。
書くことに、書き表すことにどれだけの意味があるの?
数は本来概念であって、書き表されたものは数字でしょ。
表示の仕方なんて、数があって、後から文字が出来て、その文字に収めようとして収まんなくて、なにをごちゃごちゃ言っているの?
小泉センセの頭の中には「数とは、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9を使ってのみ表せるもの」的な考えがあるようにしか思えない。こんなんじゃ、小学生の算数だよ。
πだって数字でしょ。
πを記号だと言うなら、0から9も記号でしょ。
πを整数として表したいのならば、π進数とかで表せば1になるよ。

本題からそれちゃったみたいだけど、
>実数の連続性を、数直線でイメージするのはダメなのでしょうか。
これは、何も問題はありません。数直線上でπを表せる点は唯一点のみ、これは誰が見たって定数以外の何物でもない。ってことでいかが?
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この回答へのお礼

xinmanさん、ありがとうございます。
> 数直線上でπを表せる点は唯一点のみ、これは誰が見たって定数以外の何物でもない。
私もそう思ってました。πが実在しない理念だったら、円だってあるのかないのかわから
ない幽霊みたいなものになってしまいますよね。
でも、そうは言っても、円って、やっぱり不思議ですね。

お礼日時:2001/03/20 02:36

「お礼」を拝見しました。

余談になっちゃいますが....
理系・文系のステロタイプ的分類に不満を感じているstomachmanです。(mori0309さんからご覧になって、stomachmanはどちらに分類されますか?)

 だめ押しですけど、πは「πを任意の桁数まで計算できるプログラム」という有限の表現を持っているので、構成主義的数学の観点からいっても断然実在する実数です。むしろ小泉先生の仰る「9をいくら書いても1には
ならない」というその「9をいくら書いても」というものは一体「数」なのか別物なのか、そちらの方を伺いたいものですね。

>・「物質・事実・法則」だけがすべてじゃない。それはうわべの見え方にすぎない。
> その奥かその背後に「本当の真理・本当の実在」があるのではないか。
>・「本当の真理・本当の実在」は、たとえば万有引力のような法則ではない。森羅万象の
> 運命を決定論的に支配するようなものではない。また、計測装置に捉えられてしまう
> ようなものでもない。かと言って「概念」でもない。
ここまではstomachmanも全く同意見です。理論物理は形而上学に他ならないと思いますし、数学は架空の宇宙の創造活動です。しかし「自由」に関してはまだよく分かっておらず、言うべき内容を持ちません。

 さて、理系の言うことは何でも明快で厳密か?プラズマの○槻先生やロケットの●川英夫先生の著書を読んでもまだそう思いますか?理系だろうが文系だろうが、権威者だろうがstomachmanのようなドシロートだろうが、スカタンを言うときは言いますし、アタリも何%かはあるかもしれない。単にそれだけのことのように思われます。
 また100打席10安打の方が10打席3安打よりヒットの数が多い。打率など問題じゃないと思いますよ。空振りしたって平気でなくてはアキマセン。
 むしろ、書物の真偽をご自分で再考なさるmori0309さんの真摯な態度にはいつも尊敬の念を抱いております。それこそ(理系・文系の区別を越えた)学究者、いやさ「ホモ・サピエンス」としての理想の姿ではありますまいか。

この回答への補足

stomachmanさん、ありがとうございました。
他の皆様も、ありがとうございました。

今回はπ進数についてはじめに言及してくださったxinmanさんと
ポストモダン哲学の自然科学概念の濫用について教えてくださったuzoさんに
ポイントを差し上げようと思います。

補足日時:2001/03/23 23:47
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この回答へのお礼

stomachmanさん、ありがとうございます。
> mori0309さんからご覧になって、stomachmanはどちらに分類されますか?
私などが言うのもおこがましいのですが、あえて述べさせていただくとやはり
理系でしょうか。ご回答カテゴリは数学や物理学が圧倒的に多いですもの。
でも哲学カテゴリでいただいた数々の名文(機智に富んだ、ほとんど推敲など
なさらないのではと思われるような自然な流麗さ)や、何度読んでも愉しい
「お風呂」(文学歴史方面でのご博識にも脱帽です)、それと文法論などに
みられる言語感覚の鋭敏さ。それを思うとやはりstomachmanさんは文理両刀の
巨大な巨匠でいらっしゃると思います。(なにがドシロートなもんですか)
> 理系・文系のステロタイプ的分類に不満を感じているstomachmanです。
私も同感ですが、人間の頭脳の構造上の理系脳と文系脳、個人における両者の
優劣関係、それはやはりあるのではないでしょうか。詩人的感情と科学者的理性を、
つねに同じ強さで保ち続けるのは無理のようです。私の場合三十代後半は文系期
でした。和歌・漢詩・随筆・文芸評論だけを読んでいました。分解・分析による
理論追求よりも、全体がただよわせている印象や情趣に感動を求めようとしていま
した。でも今は理系期にもどっているみたいです。教えてgooやstomachmanさんの
おかげです。文系と理系ではあたまやこころの維持のしかた、その目指す方向が
まるでちがうと思います。あんまり両刀にこだわると頭が分裂する恐怖を感じます。
頭のなかで二人の人間が同時にしゃべり出すんです。あぁ、恐ろしい。
早く「真の自分」を確立せねば、、、

お礼日時:2001/03/21 23:47

 おもろい本を手に入れましたねえ。


 ドゥルーズ先生や小泉先生がそういうお考えである。それはそれで結構でしょう。しかし「主流派」の論理と精密に対比してなおそのように主張されているのでしょうか。また、そのお考えの上でどんな哲学を展開なさっているんでしょうか。よもや、数学を100年以上前のレベルに属する先入観だけで勝手に解釈した上で(まともな数学基礎論の一体何処に数直線なんてものが出てきますのやら。「実数の連続性を、数直線でイメージする」のは一向に構いませんが、それを以て何かの証明に使える訳ではないことは、言うまでもありません。)、ろくに分からんまま数学を論じた「哲学書」だったりしたら、トンでも本コレクションに入れるか、漬け物の重しにでもするが宜しかろう。
 ちなみに、ドゥルーズ先生と小泉先生、ご両人のご意見は真っ向から対立しているようですが、お気づきでしょうか。
 たとえば、π進数で書いた無限小数3.12120111002213001203...[π進数]は値が決まってるんでしょうか?ドゥルーズ先生によれば「これは無限級数の極限値として定義される実数であるから、いくら計算してもその値は定まらない。」ところがこれは10進数の10をπ進数で展開した10[10進数]=3.12120111002213001203...[π進数]に過ぎません。すると小泉先生は「左辺は10は10で構わんが右辺がけしからん」と仰る。ではπ=10[π進数]はどうか。表現がどうあれドゥルーズ先生は「πはイデアであって値が決まったことにはならん」と言うのでなくてはならず(イデアであってみれば当然ですよねえ。)、小泉先生は「π=10[π進数]なら良いが10[10進数]=9.9999999....[10進数]は無限小数だからだめ」と仰るのでなくてはならない。ご両人、全然違うことを言ってます。そして結局口を揃えて「πなどそもそもないんだから、π進数を考えること自体が誤謬なのである」なんて主張するに違いありません。これは単なるトートロジー(「ないからない」)。実に発展性のない単なる信仰ですね。このスカタンの上に何を積み上げたってどうしようもないでしょう。
 公理論的数学というものを拒絶し、ご自分の分かる範囲の話だけ認める。これって「相対性理論はやっぱり間違いだった!」(なぜなら、わしには分からん!)というのと同じレベルのスカタンです。
 πを正確に表す公式など山ほどあります。それどころか計算公式が作れない数が幾らでも存在することも他のmori0309さんのスレッドでご説明申し上げた通りです。無限小数ごときで形而上学を持ち出す連中の数学。「トンでも」でなければ一体何でしょう。
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この回答へのお礼

stomachmanさん、ありがとうございます。本当にいつもお世話になります。
4カ月ほど前の、まだ私が教えてgooに入会したてのころの、あの衝撃的かつ
運命的なstomachmanさんとの邂逅(と勝手に思っております)「直線上の点の数は、、、」
ですけど、あれがもしなかったら、私はドゥルーズ先生や小泉先生の話を、コロッと
何の疑いもなく信じておりましたでしょう。なにせ、私は、あのカントール先生の
「証明」すら、「こりゃぁ、たぶんインチキだ」と思っておりましたんですから。
> 無限小数ごときで形而上学を持ち出す連中の数学。「トンでも」でなければ一体何で
> しょう。
あいたたた、、、私のことを言われているようです。素人の早合点、知ったかぶり。
自分の「直感」に「自信」をもってしまうのが、なんとも哀しいです。(それは凡夫だけ?)
理系の人が、あんまり見事に「物質・事実・法則」を説明してしまうので、文系人間は
そこになにか不満や不信を感じ、反発せずにいられないのだと思います。私は学校では
電子工学を学んだのですが、性向は文系人間のようで、次のように考えてしまいます。
・「物質・事実・法則」だけがすべてじゃない。それはうわべの見え方にすぎない。
 その奥かその背後に「本当の真理・本当の実在」があるのではないか。
・「本当の真理・本当の実在」は、たとえば万有引力のような法則ではない。森羅万象の
 運命を決定論的に支配するようなものではない。また、計測装置に捉えられてしまう
 ようなものでもない。かと言って「概念」でもない。
・「本当の真理・本当の実在」が存在するということと人間が自由であるということは
 矛盾しない。それらは別物ではない。すべていのちあるものは、自由を共有し、自由を
 支えあっている。
(すみません。質問から逸脱していますね。「詩」はもっと身のほどをわきまえなくては
 ならないのですね。たぶん哲学や形而上学も、、、)
くだんの本は「漬け物の重し」にするにゃ軽すぎるし「トンでも本コレクション」も満杯なので
○○○にでもしようかと思います。(←半日考えてもいい○が浮かびませんでした)
ユーモアセンスなしで、トンでも素質ありすぎのmori0309でした。

お礼日時:2001/03/21 00:17

mori0309さんへの直接の回答ではありませんが。



πを正確にあらわす公式にはライプニッツの公式といわれるものがあります。
Σを用いれば、有限個の記号で記述することができますので、
これは明示されているといっていいんじゃないでしょうか?

ちなみに、キャラクタで正確に記述するのは困難ですが、一応書いて見ますと
π=4・Σ(下がn=1、上が∞)(-1)^(n-1)・(2n-1)^(-1)
(^はべき乗記号)

これを普通の記述に展開すれば、以下のとおりです。
π=4・(1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)・・・)
マイナス1のn-1乗というのが各項の符号の逆転を表し、奇数のマイナス1乗ってのは展開したのを見てのとおりですね。

この式は参考文献から引用しましたが、この参考文献自体に、今回の議論のヒントの一つがあるかもしれません。無限についてどう扱うかということが説明されていますが、小生は物理屋の一派の工学屋ですので、ちょっとこのあたりの議論は消化不良気味です(^^ゞ。ただ、この式を哲学屋さんに持って行っても、πの定義に∞を用いているだけで、多分門前払いではないかと…(^^;。

※参考文献…野崎昭弘著 逆説論理学(中公新書)176ページ
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この回答へのお礼

ubonさん、ありがとうございます。
> この式を哲学屋さんに持って行っても、πの定義に∞を用いているだけで、多分門前
> 払いではないかと
たぶんそうでしょうね。目的地の写真じゃなくて、目的地へいくための地図みたいなものです
からね。この地図を見て「絶対たどりつける」と思うか「絶対たどりつけない」と思うか。
地図を見た人の性格によって分かれるんでしょうか。
前者は科学者やエンジニアになり、後者は哲学者や詩人になる。(あ、脱線)
数学は「たどりつける」「たどりつけない」を議論する学問じゃないですよね。

お礼日時:2001/03/20 02:16

πの発生原理からから考えればおかしな話です。


自然科学の現象を表記するために、数字での表記が困難なため文字が代用されただけであって、実際の数字を算出することこそ困難であれ、そこに存在する定数であることには変わりはない。

0.999・・・=1
に関して数学屋さんはこの議論だけで飯が食えます。
物理屋さんにとってはこんな大きな桁数はなんの意味も持たないです。
例えば 1と言えばそれは0.5から1.4までの範囲を示すからですね。
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この回答へのお礼

Durandalさん、ありがとうございます。
> 0.999・・・=1に関して数学屋さんはこの議論だけで飯が食えます。
いや、その、飯は食えないでしょうね。だって数学カテゴリの質問は全質問
総数の180分の1ですもの。

お礼日時:2001/03/20 02:21

ポストモダン哲学の「数学」等自然科学概念の濫用には


科学者から猛烈な反論がでています。
とりわけアメリカでは数年前「サイエンス・ウォーズ」という
大事件が起こりました(3年前くらいの『現代思想』で同名の特集があります)。

くだんのドゥルーズは、その中で最も批判されている一人です。

アラン・ソーカル他『知の欺瞞』(岩波書店)という本が昨年4月に
でていますが、立ち読みでもしてみて下さい。
あなたの疑問にも答えてくれます。
サイエンス・ウォーズがどんなものかもわかります。

参考URL:http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/so …
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この回答へのお礼

uzoさん、ありがとうございます。
> くだんのドゥルーズは、その中で最も批判されている一人です。
そうだったのですか。ビックリしました。哲学の歴史の古い西欧で、そんなことが起こって
いるなんて。哲学の大家も「知ったかぶり」という罠にはまってしまうなんて。
やっぱり哲学は科学(特に数学)を前にしては、絶滅していく運命なのでしょうか。
「論理」で競ったら数学にかなうわけないですものね。総じて文系の学問は、数学や物理学の
厳密性に比べたら、厳密性なんてないに等しいですもんね。(専門家に怒られるぅ)
21世紀は「文系」の巻き返しの時代だと思っているんだけどなぁ。

お礼日時:2001/03/20 02:26

その小泉先生の著書を読んではいませんので、はっきりしたことは言える立場にはありませんが、「確定」という言葉を使うときに、プラトニズムな立場(つまり実無限を受け入れる)に立つ人と、そうでない立場に立つ人との違いがあるのだと思います。


例えば、「円周率の10進数展開のなかで、0が1億回連続して出現する箇所がある。」という命題の真偽値は果たして確定しているのでしょうか?
プラトニズムな立場の人は確定しているはずだと主張するかもしれません。
しかし実際には、無限の数列を一挙に見渡せるラプラスの魔のような超知性体ならいざしらず、われわれ人間には、その真偽値を今定めることはできません。もし見つかったときには真だといえるかもしれませんが、見つからないときには偽だとは言いきれません。
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この回答へのお礼

ringo2001さん、ありがとうございます。
> プラトニズムな立場(つまり実無限を受け入れる)に立つ人と、そうでない立場に
> 立つ人との違いがあるのだと思います。
誰も見たことがないのに「確定値πは確かに実在する」と断言できるのか、ということ
でしょうか。無限級数の収束値が存在するということを信じるなら、実無限の存在も
信じなければならないのですね。数学はものすごく純粋な公理とその系を考える学問
だと思いますから、人間的な「信じる・信じない」とか生活感覚的な「実在する・実在
しない」などという人間心理を持ちこんではいけないのでしょうね。

お礼日時:2001/03/20 02:28

 πがイデアの存在である、という考え方が面白そうだったので回答してしまいました(^_^;



 それはもしかして、現実的には定まらないとか、そういう意味ではないでしょうか。
 もし本当に定まらなかったら、「コンピュータで計算したπの値は検算不可能」になってしまいますよね。できなければ何億桁も求めたところで意味がありませんから。

 でも、実際には、πを正確にあらわした計算式は現在のところ存在しません。ですから、明示的に「π」をイメージできる人はこの世に誰もいません。
 「その意味では」πの定数は存在しないんです。

(コンピュータで計算したπが正しいかどうかは、別の計算式でまったく同じ桁まで計算し、一致するかどうかによって検算しています。ですから、πの値の世界記録値は、間違っている可能性もあるのです)

 それから1=1.9999999……が間違っている、という考え、これって数学の問題じゃないですよね。
 そもそも、表題が「哲学」ですから、数学的な回答をもって「先生の誤解」というのは早急ではないかと思います。
 先生のこの理論を否定するのは、「1+1=田」という計算式を否定するのと一緒で、面白くないのです(笑) 哲学では、1+1は2ではないですからね。

 もっとも、著者自身も、数学者の言い分を哲学的に捕らえているようなので、本人を数学者と対談させたら喧嘩にはなるでしょうが(笑)
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この回答へのお礼

deagleさん、ありがとうございます。
> 1=0.9999999……が間違っている、という考え、これって数学の問題
> じゃないですよね。
「1=0.99999....は本当?」のstomachmanさんの回答、完璧だと思います。
いかに哲学でもこの証明に文句はつけられないと思うのですが。
> 「1+1=田」という計算式を否定するのと一緒で、面白くないのです(笑)
私も、こういうの好きです。「文系的才能」って、こういう愉快なことを考える
ためにあると思うんです。(マジで)
上質の笑いとかユーモアこそ、人に健康と幸福を与えますから。

お礼日時:2001/03/20 02:35

回答ではありません。

回想です。
0.999・・・=1を認めないという話から「アキレスと亀」の問題を思い出してしまいました。現実的にはアキレスは必ず亀を追い越しますよね。
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この回答へのお礼

ymmasayanさん、ありがとうございます。
無限を実感できるもの(こと)って、日常生活のなかに、なにかあるでしょうか。

お礼日時:2001/03/20 02:39

πは立派な定数です。

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この回答へのお礼

Durandalさん、ありがとうございます。

お礼日時:2001/03/20 02:37

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>円周率は誰が一番最初に何の目的があって求めようとしたのか?
>つまり円周率の起源がわかりません。
>僕は円周率の起源は解明されてないのではと考えています。
>この考えは正しいでしょうか?

いいところに気付きました!と言いたいところですが、
実は大事なポイントを見失っています。

「円周率」や「√2、というか、正方形の辺と対角線の比」というものは、

数学者、というか、古代では、そういう分業制がなかったので、自然哲学者(今でいう、数学やら物理やら生物やら何でもかんでも考える人、ニュートンなどは、完全にそっちの方の人でした)が、

図形や数の研究をして、そういうものを最初に発見した、などというものではなく、

元々、大工さん・石工さんなどが、仕事で必要なので、円周率なら、円周と直径の比は、円の大きさに関係なく同じで、大体、3ちょっとくらいだ、なんてことは、誰かが最初に発見したのか、段々解るようになってきたのか、自然哲学者が活躍する時代には、もうとっくに知られていたことでした。

そういう時代には、そういうことを見つけた、大工・石工は、自分の跡継ぎ以外には、弟子にも教えない(みんなが知っちゃうと、自分や自分の身内の仕事が減るから)、なんてことは普通だったので、いきなり、たくさんの人が、知っていることになったりしませんでしたが、段々には拡がって行って、その流れで、自然哲学者も、そういう数の性質やできるだけ正確な値を求めるような研究を始めていった、というのが、歴史の流れかと思います。

調べる中で、見つけたことかもしれませんが、幾何学は、英語で、geometry、geoが大地/地球、metryはmeter(計測器のメーター、長さの単位メートル)は、測るなので、測地・測量のこと、

古代エジプトでは、ナイル川の氾濫のため、養分の多い土が、上流から運ばれてくるのは農業にとってプラスだが、氾濫で、農地の区画が解らなくなるのは、マイナス、その区画の引き直しだとかの工事のために、そういう知恵を集めて、測量技術や土木技術が発達し、ひいては、ピラミッドの建設に繋がって行ったりするのですが、もう一方で、こういう知識の集まりが、幾何学の父・ユークリッドを生み出す母体にもなりました。ユークリッドは、何もないところから、純粋に頭だけで考えて、幾何学を生み出した訳ではなく、そういう既に知られた事柄に、筋道をつけていって、その筋道から、まだ知られていない事柄を発見し正しいことを示す方法を見出し、自身も、それを使って、新しい発見をしていった、ということです。

なので、円周率の起源は解明されていない、というのは、
それと、だいぶ次元は違いますが、

「誰がものを数えるということを始めたのか」
「誰が足し算/掛け算を考えたのか」
解明されていない、というのが変なのと、
ちょっと似たところがあります。

難しめの本だと、そこんところは当たり前の前提だから、パスされているかもしれませんね。逆に小学生向きの本なんかの方が、そこんところから色々書いてあるかもしれません。

ついでですから、そういう、職人さん的工夫は、日本でも昔から知られており、今でも使われている例をあげておきます。

曲尺(かねじゃく)という大工さんが使う道具を見たことがありませんか?
今だと金属製ですが、長めの定規が2本、その端っこで直角につながって
いるような道具、次のサイトに画像と、それに付いている√2倍目盛の
使い方の例があります。
http://www.kumamotokokufu-h.ed.jp/kokufu/math/kanejaku.html

1/π倍のような目盛の今でいうとメジャーのようなもので、
まだ、切ってない気の周囲にあてると、切り出せる角材の
最大の対角線の長さの目安がつく、ような道具もあります。

>円周率は誰が一番最初に何の目的があって求めようとしたのか?
>つまり円周率の起源がわかりません。
>僕は円周率の起源は解明されてないのではと考えています。
>この考えは正しいでしょうか?

いいところに気付きました!と言いたいところですが、
実は大事なポイントを見失っています。

「円周率」や「√2、というか、正方形の辺と対角線の比」というものは、

数学者、というか、古代では、そういう分業制がなかったので、自然哲学者(今でいう、数学やら物理やら生物やら何でもかんでも考える人、ニュー...続きを読む

Q新しい実数の構成:自然数→正の実数→実数

次のような実数の構成はあるのでしょうか?

まず、10進法の表記により自然数を構成します。
0を含めます。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、12、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても、順序関係と加法・乗法はいままでと同様です。

そして、小数点以下のケタ数が無限なる数を考えます。
順序関係はいままでに追加して、
1=1.000・・・=0.999・・・
といったことなどを考えます。
加法と乗法の筆算も、「左から計算」していけばいいと思います。
このとき、新しく除法も考えられます。

これで、正の実数が構成できたと思いますが、
最後に、小数点以上のケタ数が無限なる数を考えます。
たとえば、
・・・1212.12 
とか
・・・333.333・・・

順序関係はうまくいきませんが、
・・・999+1=・・・000=0
と考えると、
・・・999=-1
といった意味になり、
3をかけることで、
・・・997=-3
といった意味になったり、
3でわることで、
・・・333=-1/3
といった意味になったりします。
また、加法と乗法の筆算は、「小数点を中心に左右へ計算」していけば整合性が得られると思われます。
そして、減法・除法も考えられると思います。
つまり、負の実数が構成されたと思います。

結局、左右に無限に続く10進法表記で、実数とその加減乗除が構成されたと思います。

このような、実数の構成はあるのでしょうか?
また、不備がありましたら指摘ください。

次のような実数の構成はあるのでしょうか?

まず、10進法の表記により自然数を構成します。
0を含めます。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、12、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても...続きを読む

Aベストアンサー

アイデアは買うが、それでは無理。要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化(実数体R)と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化(p進体Q_p)というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・・・・・・0000、x=・・・・・・0001以外にもx=・・・・・59918212890625、x=・・・・・40081787109376というものが存在することになる。ここであげた・・・・・59918212890625と・・・・・40081787109376という組み合わせはなかなか面白くて、足して1、かけて0になる(左に無限に続く)2数となっている。要するに有理数の10進完備化は体にはなっていないのです(体ならば特に整域であって、因数分解は一意的でなくてはならない。したがって2次方程式に解が3個以上存在していはいけない。)

以下、おまけ。・・・・・59918212890625をどうやって求めるか。ようするにx^2=xとなるxを見つけたい。
0~9の中で2乗しても1の位が変わらないものは、0,1のほかに5と6がある。そこでまず5に注目する。5を2乗すると25になる。したがって25を2乗したものは下二桁が必ず25と変わらない。そこで25を2乗する。すると625になる。よって625を2乗したものは下三桁が必ず625となって変わらない(ただの中学数学で簡単に証明できる)。625の2乗は390625だから、この下四桁0625はやはり2乗して同じ下四桁を持つ。そこで0625を2乗して390625だから、下五桁90625は2乗して同じ下五桁を持つ。あとはこれを延々と繰り替えすことができるから、無限に左に続く、べき等元が得られる。通常の実数なら、0と1以外にそんな数はないが、左に無限に続いてもよい(これは要するに左に行けば行くほどその数がある値に収束するという意味であって、普通のユークリッドの距離とは異なる距離概念)から可能になってしまう。

このアイデア自体はちゃんと数学になっていて、Z/10Z、Z/10^2Z、…の逆極限という環として10進整数と呼ばれる、左に無限に続く数が定義可能。だけど素数じゃないとうまく整域にならないのです。したがってうまく商体を考えられない。整域だったら、p進整数から、p進体が出来ます。興味があれば、p進体などを勉強されてみるとよいと思います。参考URLの『p-進数の世界(pdf)』が秀逸な記事だと思います。

参考URL:http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/

アイデアは買うが、それでは無理。要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化(実数体R)と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化(p進体Q_p)というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・...続きを読む


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