円錐と円柱の重なり部分の体積を求める問題です

大学入試問題なのですが、判らなくて困っています。

xyz空間内に底面がx^2＋y^2≦4、z＝0、頂点が（0,0,2）の円錐と、底面が（x－1)^2＋y^2≦1、z＝0、上面が（x－1)^2＋y^2≦1、z＝2の円柱がある（円錐、円柱ともに内部を含むものとする）。この円錐と円柱の共通部分をDとする。Dの体積Vを求めよ。

どなたか、教えて頂けると助かります。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/10/17 19:48

積分は次式のように書けます。

V=2∫(0,1)[∫(1-√(1-y^2),1+√(1-y^2)) {2-√(x^2+y^2)}dx]dy
簡単には積分出来そうではないです。
極座標に変換すればいいかも。
出来るならやってみてください。

強引に数値積分すると
=5.455263678 ...
となりました。
合っているかどうかは保証の限りではありません。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/10/18 04:06

#1です。

A#1の積分を
>極座標に変換すればいいかも。
と書いた通り x=r*cosθ,y=r*sinθで極座標変換してやると
V=2∫[0,π] (2-2cos(θ/2)){∫[0,2cos(θ/2)] r^2 dr}dθ
=(128/9)-4π≒1.6558516...
となりました。
（合っているかどうかは自分で計算して確認して下さい。）

なお、A#1の以下は正しくない様ですので無視（又は削除）して下さい。
>強引に数値積分すると
>=5.455263678 ...
>となりました。
>合っているかどうかは保証の限りではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
自分で計算して合っていることが確認できました。
本当に助かりました。

お礼日時：2009/10/18 07:29

No.3 回答者： noname#108210 回答日時： 2009/11/16 17:40

>自分で計算して合っていることが確認できました。

？？

計算してみたら，図のようになった。自信ないが参考に。