重積分の計算

　重積分の計算について、ぜひ教えてください。

∬(x^2+y^2)dxdy D:x^2*y^2≦1
よろしくお願いします。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/11/14 21:18

#2です。

A#2の補足質問の回答
>Dの領域は半径１の円の内部ですか？
すみません。
D:{(x,y)|x^2＋^2≦1}
と勘違いしてました。

>x^2*y^2≦１→-1≦xy≦1となり，双曲線の領域になるのでは・・・
その通り
D:{(x,y)|x^2*y^2≦1}={(x,y)|-1≦xy≦1}
ですね。
なので、A#2の積分の式の積分範囲や積分結果は正しくないので削除または無視して下さい。

改めて積分の所を補足します。いずれも積分は∞に発散します。

領域Dのプロットした図を添付します。4色に色づけした領域で、被積分関数および領域の対称性から、どの色の領域で積分しても積分値は同じになります。
従って、黄色の積分領域D1で積分して4倍すればいいですね。

D1:{(x,y)|xy≦1,x≧0,y≧0}
I=I=∬[D}(x^2+y^2)dxdy
=4∫[0,∞]{∫[0,1/x] (x^2+y^2)dy}dx
=4∫[0,∞]{x+1/(3x^3)}dx
=4{lim(x→∞)(x^2/2)-lim(x→0)(-1/(6x^2)}
=4{lim(x→∞)(x^2/2+x^2/6)=(8/3)lim(x→∞)x^2=∞（発散）

別解（#1さんの置換による方法）
x=rcos(t),y=rsin(t),r=0～√(2/sin(2t)),t=0～π/2おけば
I=4∫[0,π/2] {∫[0,√(2/sin(2t))]r^2*rdr}dt
=4∫[0,π/2] [r^4/4]|(r^2=2/sin(2t))
=∫[0,π/2] 4/(sin(2t))^2 dt
=lim(t→0+){2/tan(2t)}-lim(t→(π/2)-0){2/tan(2t)}
=∞-(-∞)=∞（発散）

No.4 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/11/14 16:09

ANo.1, 3です。

ANo.3の回答文を修正します。

(誤)
まずは領域Dをx軸、y軸で4つに分け、
そのうちの1つの領域での広義積分を考えて下さい
(ANo.2の方が仰っている方法です)。
あとは普通に重積分しましょう。

恐らく積分値は+∞に発散します。

(正)
まずは領域Dをx軸、y軸で4つに分け、
そのうちの1つの領域での重積分を考えて下さい
広義積分を利用することになりますが、
それ以外は普通の重積分の問題と同じです。

1つの領域での積分値がおそらく+∞に発散するはずなので、
4つの領域全体での積分値も+∞に発散します。

もし式変形や積分範囲等で分からないところがあるなら、
その点を教えてください。

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/11/14 15:57

ANo.1です。

> 再度質問ですが、何故領域Dが半径１の円の内部なのですか？
> x^2*y^2≦１→-1≦xy≦1となり，双曲線の領域になるのでは・・・・

申し訳ありません。見間違いしていました。
領域Dはy = 1/xとy = -1/xに囲まれた部分ですね。

まずは領域Dをx軸、y軸で4つに分け、
そのうちの1つの領域での広義積分を考えて下さい
(ANo.2の方が仰っている方法です)。
あとは普通に重積分しましょう。

恐らく積分値は+∞に発散します。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/11/14 14:25

対称性を使えばx≧0,y≧0の積分を出して4倍すればいいですね。

直接積分するなら
I=∬[D}(x^2+y^2)dxdy
=4∫[0,1]{∫[0,√(1-x^2)] (x^2+y^2)dy}dx
=4∫[0,1]{x^2+(1-x^2)/3}√(1-x^2)}dx
=(4/3)∫[0,1](2x^2+1)√(1-x^2)}dx
x=sin(t)(0≦t≦π/2)と置換すると　dx=cos(t)dt, √(1-x^2)=cos(t)
I=(4/3)∫[0,π/2](2sin^2(t)+1)cos^2(t)dt
=(4/3)∫[0,π/2](2-cos(2t))(1+cos(2t))/2dt
=(2/3)∫[0,π/2](2+cos(2t)-cos^2(2x))dt
=(2/3)∫[0,π/2]{2+cos(2t)-(1+cos(4t))/2}dt
=(1/3)∫[0,π/2]{3+2cos(2t)-cos(4t)}dt
=π/2

別解（#1さんの置換による方法）
x=rcos(t),y=rsin(t),r=0～1,t=0～2πおけば
I=4∫[0,π/2]dt∫[0,1]r^2*rdr
=4(π/2)[r^4/4]|(r=1)
=4(π/2)*(1/4)
=π/2
前の結果と一致しましたね。

この方法は変数変換時にdxdy=|J|dtdr=rdtdrとヤコビアン|J|=r
を習っていないと難しいかも知れませんね。
積分の計算自体は簡単ですが。。。

この回答への補足

回答いただき、ありがとうございます。
再度質問ですが、Dの領域は半径１の円の内部ですか？
x^2*y^2≦１→-1≦xy≦1となり，双曲線の領域になるのでは・・・・
この部分を教えていただければ幸いです。

補足日時：2009/11/14 15:46

この回答へのお礼

はじめまして、早々回答いただきありがとうございます。
再度質問ですが、何故領域Dが半径１の円の内部なのですか？
x^2*y^2≦１→-1≦xy≦1となり，双曲線の領域になるのでは・・・・

お礼日時：2009/11/14 15:52

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/11/14 13:36

領域Dが半径1の円内部なので、

x = rcosθ, y = rsinθとおいて
置換積分すると簡単に計算できると思います。

この回答への補足

はじめまして、早々回答いただきありがとうございます。
再度質問ですが、何故領域Dが半径１の円の内部なのですか？
x^2*y^2≦１→-1≦xy≦1となり，双曲線の領域になるのでは・・・・

補足日時：2009/11/14 15:40

この回答へのお礼

おはようございます。
いつも、丁寧な解説恐れ入ります。
ありがとうございました。
納得です。しかし、このような問題があると、びっくりしてしまいます。
私は、ｙの積分範囲を[a，b]にして，計算後a→０，b→∞であらわしましたが、発散しますので，自分のミスと考え、途中で解答をあきらめました。
今後とも、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2009/11/15 10:03