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最近ベクトルについて勉強しなおしています。
次の問題の考え方(答えを書いていただくのではなくて)を教えていただきたいのですが、

問題:
次の各曲線上を一定の速さvで動く動点について、速度ベクトルと加速度ベクトルを媒介変数tを用いて表してください。
(1) C; y=x^2
(2) C; y=x^3-6*x^2+9*x
(3) C; y=cos(x)
(4) C; x^2/5^2+y^2/3^2=1

問題の意味で、速さは一定なのに、加速度ベクトルがあるのかという疑問です。等速円運動における向心力を発生させる加速度のようなものでしょうか。
私が解いたことがあるのは、x,y成分がそれぞれ時間tの関数で、それぞれ微分・積分することで位置、速度、加速度を求めるというようなものです。今回は与えられた曲線の上を一定の速さで走るということなので、x,yが距離を表わしているわけではないようです。

問題の意味とヒントを教えてください。

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A 回答 (3件)

>次の各曲線上を一定の速さvで動く動点について


ここでいう速さとは速度ベクトルの絶対値という意味ですか。
そうすると速度ベクトル(u,w)について
u^2+w^2=v^2=constant
に (1)であれば
u=dx/dt, w=dy/dt=2xu
を代入してuについて解くと
u=c/(1+4x^2)^.5=dx/dt
この微分方程式は解けますが
t=f(x)の形になり
x=g(t)の形にはなりません。よってu=g'(t)は解析的には表現できません。
他も同様の困難があります。

「一定の速さv」の意味を確認してください。

この回答への補足

詳しい回答ありがとうございます。
本当に一定の速さvとしか書いていなかったので、ご指摘いただいたとおり、速度ベクトルの絶対値と私も思います。
しかし結果はそうなってしまうのですね。高校数学の本なのでありえないですよね。
変なことをお聞きしますが、spring135先生でしたら、他にどのようにvを解釈されますか。
x方向が一定などとするとどうなるでしょうか。教えてください。

補足日時:2009/12/04 14:10
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#2です。



>もし時間tとして捉えた場合どうなるでしょうか。

#1さんの回答参照。

>都合のよい変数をとった場合は、

たとえば t = x とすると、速度ベクトルは#1さんの回答を利用して求められますね。その結果から加速度も。

あとはご自分で。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。よく分かりました。

お礼日時:2009/12/05 10:51

>等速円運動における向心力を発生させる加速度のようなものでしょうか。



そうでしょうね。加速度ベクトルは速度ベクトルの時間微分。

「媒介変数t」は時間座標なのでしょうか?
都合のよい変数をとってもよいのであれば、解けますね。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
問題に誤りはなく、大昔の高校数学の参考書に本当にこのように書いてあります。
もし時間tとして捉えた場合どうなるでしょうか。
都合のよい変数をとった場合は、先に回答してくださった方のような
解法になるのでしょうか。

補足日時:2009/12/04 14:05
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