No.4ベストアンサー
- 回答日時:
グラフの形状は、媒介変数θを消去「y=f(x)」の形に直して増減表を作れば明らか。
x=sinθ, θ=0→π/2 の時 x=0→1
0≦θ≦π/2のとき,0≦x≦1,0≦cosθ≦1
cosθ=√{1-(sinθ)^2=√(1-x^2)
y=sin(2θ)=2sinθcosθ=2x√(1-x^2) (0≦x≦1)
この関数の増減表を作りグラフを描けば形状が分かるでしょう。
y'=-2(2x^2-1)/√(1-x^2)=0を満たすxを(0≦x≦1)の範囲で求めると
x=1/√2
このxの時、yは極大(最大)となり、極大値=1を得る。
求める回転体の体積Vは以下のとおり、
V=π∫[0→1] (y^2)dx
=π∫[0→π/2] {(sin(2θ))^2}d(sinθ)
=π∫[0→π/2] (1/2){1-cos(4θ)}cosθdθ
=(π/2)∫[0→π/2] {cosθ-cos(4θ)cosθ}dθ
=(π/2)∫[0→π/2] [cosθ-(1/2){cos(5θ)+cos(3θ)}]dθ
=(π/2) [sinθ-(1/2){(1/5)sin(5θ)+(1/3)sin(3θ)}] [0→π/2]
=(π/2) [1-(1/2){(1/5)-(1/3)}]
= ...
後の計算はご自分でおやり下さい。
回答ありがとうございます。
y=2x√(1-x^2)の微分が上手くいきません。
これって積の微分の公式をつかいますよね?
すると、y'=(2x)'(√1-x^2)+(2x)(√1-x^2)'となって
y'=-x^3-4x^2+x+2√1-x^2になってしまうのですが・・・
No.5
- 回答日時:
#4です。
補足質問の回答
> y=2x√(1-x^2)の微分が上手くいきません。
> これって積の微分の公式をつかいますよね?
積または商の微分公式を使います。
>すると、y'=(2x)'(√1-x^2)+(2x)(√1-x^2)'となって
>y'=-x^3-4x^2+x+2√1-x^2になってしまうのですが・・・
途中、暗算で手抜きして計算ミスしているようです。
ちゃんと手抜きしないで計算すると正しい結果が得られます。
y'=(2x)'(√(1-x^2))+(2x)(√(1-x^2))'
=2(√(1-x^2))+(2x)(1/2){(1-x^2)^(-1/2)}(-2x)
=2(√(1-x^2))-2(x^2)/√(1-x^2)
=2{(1-x^2)-x^2}/√(1-x^2)
=2(1-2x^2)/√(1-x^2)
再びの回答ありがとうございます。
info22さんのおかげで無事解答にたどりつくことができました。
感謝しています。ありがとうございました。
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