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閲覧ありがとうございます。


曲線y = x^2 - 2xと
直線y = xで囲まれた図形を
x軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ

という問題です。


この場合、
V = π∫f(x)^2 dxを使うのはわかります。

しかし、x軸の下の部分、つまりyが負の値の部分を引いたりしなければならないのでしょうか?
(画像あります。見てください。)
また、引かなければならない場合、どのような処理をすれば良いのでしょうか?

説明下手ですみません。
よろしければ回答お願いします。

「回転体の体積を求める問題です」の質問画像

A 回答 (4件)

#2です。



A#2の補足質問の回答

> V2 = π∫[1,2](x^2)^2 dx
> となる理由がわかりません。
転記ミスです。2重に二乗してしまいました。

> V2 = π∫[1,2](x^2) dx
これが正しいです。
訂正願います。

計算は別にやっていますので、Vの方は正しいです。
V1=(8/15)π,V2=(7/3)π,V3=(19/5)π
V=V1+V2+V3=(20/3)π

[別解]
V1は同じ
V2+V3は空洞部分を含めた体積から空洞部を引く計算をしても良いです。
V2+V3=π∫[1,3] (x^2)dx - π∫[2,3] {x(x-2)}^2 dx
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この回答へのお礼

お礼遅くなってすみません。
今回も助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/12/21 14:32

#1です。

2<x<=3では中空でしたね。失礼しました。
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添付した図を見て下さい。


黄色に塗りつぶした領域が回転体の断面になる範囲です。

(1)x=0~1の区間は y=-x(x-2)で積分します。
   V1=π∫[0,1] {-x(x-2)}^2 dx
(2)x=1~2の区間は y=x で積分します。
   V2=π∫[1,2] (x^2)^2 dx
(3)x=2~3の区間は 外側が y=x , 内側が y=x(x-2) の中空の回転体
  の積分になります。
   V3=π∫[2,3] [(x^2)-{x(x-2)}^2] dx

回転体全体の体積Vは上記の(1),(2),(3)の部分の体積の和となり
ます。

 V = V1 + V2 + V3

ここまでやれば、後の積分は自力で出来ますね。

やってみて分からなければ、計算過程を補足に書いて、分からない箇所を
質問して下さい。

V=(20/3)πとなればOKです。
「回転体の体積を求める問題です」の回答画像2

この回答への補足

いつもありがとうございます。

質問があります。

V2 = π∫[1,2](x^2)^2 dx
となる理由がわかりません。
V2 = π∫[1,2](x^2) dx
だと思ったのですがどうしてこのようになるのでしょうか?

お忙しいとは思いますがよろしくお願いします。
すみません。

補足日時:2009/12/10 13:50
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 負の部分を引くのではありません。

|x^2-2x|と|x|の大小を比較して、大きい方を回転半径として採用する必要があります。
 両者を比較すると0<=x<=1の範囲では|x^2-2x|>=|x|となるのではないかと思います。よってこの範囲ではf(x)=x^2-2x、1<x<=3ではf(x)=xとしてご質問中の積分をすればいいと思います。
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