命題２

１任意の実数ｘに対し、自然数Nが存在してN＞ｘとなる。
２自然数Nが存在して、任意の実数ｘに対しN＞ｘとなる。
以前聞いたこの２つの命題の否定命題の真偽はどうなるのでしょうか？
また
任意の実数ｘに対しN>xとなる自然数Nが存在する。
という命題は上の２つの意味とは違うのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/05/20 10:11

encollegeさん、こんにちは。

ある命題ｐの否定￢ｐは「ｐではない」ことを表します。

＞１任意の実数ｘに対し、自然数Nが存在してN＞ｘとなる。

この命題の否定は、
「任意の実数ｘに対し、N>xなる自然数Ｎが存在しない」
という命題になるでしょう。
これは、明らかにおかしいですね。
実数ｘは任意ですが、それに一番近い自然数Ｎ’が存在します。
今N'+1=NとなるＮを取れば、この命題が成り立たないことが分かります。よって偽です。

＞２自然数Nが存在して、任意の実数ｘに対しN＞ｘとなる。

この命題の否定は、
「自然数Ｎが存在して」という部分を否定すればよいので
「任意の実数ｘに対し、N>xとなる自然数Ｎは存在しない」
となるでしょう。
これは正しいか？というと、充分大きな自然数Ｎをとっても、
それよりも大きな実数ｘは矢張り存在しますから、正しいことが分かります。
よって真ですね。

＞任意の実数ｘに対しN>xとなる自然数Nが存在する。
という命題は上の２つの意味とは違うのでしょうか？

これは、上の命題２と同値です。
「任意の実数ｘに対して、N>xとなるような」
というのは、形容詞と考えてください。
そのような形容詞を持つ「自然数Ｎが存在する」
というのが命題になっています。

命題２の「自然数Ｎが存在して・・・」というのは
「自然数Ｎが存在するんだけど、そのＮというのは、次のような条件があるんだよ」
ということです。
つまり、先程の形容詞をもつような自然数Ｎがあるんだよ、という命題になります。

・・・ちょっと、ややこしかったでしょうか。
ご参考になればよいのですが。

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2003/05/21 02:01

１の否定は

　(∀ｘ: 実数)(∃Ｎ: 自然数) Ｎ＞ｘ
の否定だから、
　(∃ｘ: 実数)(∀Ｎ: 自然数) ￢(Ｎ＞ｘ)
　(∃ｘ: 実数)(∀Ｎ: 自然数) Ｎ≦ｘ
つまり「ある実数ｘが存在して、任意の自然数Ｎに対して、Ｎ≦ｘ」、「自然数全体は上に有界」とか「無限大実数が存在する」という感じの偽の主張ではないでしょうか。

No.3 回答者： i536 回答日時： 2003/05/20 10:56

１は真なので、１の否定命題は偽です。

２は偽なので、２の否定命題は真です。

後半は、#1のjmhさんの優れた説明があります。

たぶん、カンマの打ち方で命題の真偽が変わる、
#1のような回答を希望されていたと思います。

以下は、カンマを打って、
『任意の実数ｘに対しN>xとなる自然数Nが存在する』を
『任意の実数ｘに対し、N>xとなる自然数Nが存在する』
とした場合の説明です。

まず、重文を分割して明確するために”そして”を挿入すると
『任意の実数ｘに対し、N>xとなる、そして自然数Nが存在する』となります。
次に”そして”は交換可能なので、
『任意の実数ｘに対し、自然数Nが存在する、そしてN>xとなる』となります。
最後に”存在する、そして”を同じ意味の”存在して”で置き換えると、
『任意の実数ｘに対し、自然数Nが存在してN>xとなる』となります。
これは１と同じです。
したがって真です。

質問の意味を勘違いしていたらすみません。

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2003/05/20 09:33

否定の真偽は、もとの逆です。

> 任意の実数ｘに対しＮ＞ｘとなる自然数Ｎが存在する。

これは、いわゆる「美しい水車小屋の娘」と似ていると思います（美しいのは、水車小屋か娘か）。

“任意の実数ｘに対しＮ＞ｘ”となる自然数Ｎが存在する。
　(∃Ｎ: 自然数)(∀ｘ: 実数) ｘ ＜ Ｎ

任意の実数ｘに対し“Ｎ＞ｘとなる自然数Ｎが存在する”が成り立つ。
　(∀ｘ: 実数)(∃Ｎ: 自然数) ｘ ＜ Ｎ

どちらにも読める気がします。