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漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
どなたか詳しい方教えてください。

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A 回答 (3件)

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします


xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから,
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう.
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
一度やったことがあったことなんですが、やっと思い出せました。ありがとうございます。

お礼日時:2003/05/24 01:40

まず、ヤコビアンとは、「積分」で「変数変換」を行うときに使います。



簡単な例で1次元でいくと、
∫x^3 e^(x^2) dx を積分する際、
x^2=y とおいて、dy/dx = 2x だから、
与式=∫(1/2)x^2 * e^(x^2) * 2xdx
=∫(1/2)y*e^y dy
とやると思います。この「dy/dx = 2x」のあたりのところが鍵ですね。

じゃ、3次元だとどないなんねん、ってところですが、
dxdydz / drdθdΦ は、次の行列の行列式となります。

[(dx/dr,dx/dθ,dx/dΦ),
(dy/dr,dy/dθ,dy/dΦ),
(dz/dr,dz/dθ,dz/dΦ)]

ただし、この各要素は、偏微分です。(∂を打つのが面倒くさかったので、dと書いてしまっています・・・)

詳しくは、大学1回生の方が読みたくなるような微積の演習書をお読みください。

#きちんとした定義とか、その辺は私は苦手で、表現とかにまずいところとかあるかもしれません・・・
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この回答へのお礼

ん~なるほど~(゜_゜;)ヤコビアンは難しとゆうことが分かりました。
大学1回生の方が読みたくなるような微積の演習書をよんで精進します。ありがとうございました。

お礼日時:2003/05/24 15:03

球面曲座標変換(x,y,z)→(r,θ,Φ)とそのヤコビアンを使えばよいと思います。


ちなみに、体積を求めるので、3重積分ですかね。

∫∫∫r^2sinθ*drdθdΦ
(積分範囲は0≦r≦R, 0≦θ≦π, 0≦Φ≦2π)
となります。

この回答への補足

ヤコビアンってゆうのはどうゆうものなんですか?
この質問からは外れるんですが、もしお暇がありましたら今後の参考までに補足か参考URLを教えてください。
なにぶん右も左も分からん青二才なもんで、もう少し噛み砕いていただけるとのどごしさわやかかと思われます。

補足日時:2003/05/24 01:40
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Q【三重積分】球の体積の求め方

x=rsinθcosω
y=rsinθsinω
z=rcosθ

上記の変数変換を使った三重積分で球の体積を求める時、θの範囲が0≦θ≦πとなるのはなぜでしょうか?(ωの範囲は0≦ω≦2πとなるのに、なぜθは0≦θ≦2πにはならないのでしょうか。)

Aベストアンサー

参考URLの例5の図を見てください。球座標の図があると思います。ω=φと置き換えてください。点PをP(x、y、z)とします。球の体積を考えるのでrは一定です。

θはz軸の正の方向とベクトルOPのなす角です。例えばP(0,0、r)のときはθ=0、P(0,0、-r)のときはθ=πです。0≦ω≦2π、0≦θ≦π、rは一定とすればxyz空間に半径rの球が描けることが分かるかと思います。

参考URL:http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q球の表面積(途中過程もお願いします。)

半径がaの球を書きます。中心は原点にとって下さい。そこから積分を使って球の表面積を出して下さい。途中過程を宜しくお願いします。

Aベストアンサー

●一般に、回転体の表面積を求める問題と考えましょう。
滑らかな関数f(x)による
y=f(x) ≧ 0 (x∈[a,b])
のグラフをx軸のまわりに回転させて出来るものの側面の面積A。
このグラフy=f(x)の、xとx+dx (dxは微小量)の間の部分だけ考えますと、2点(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と(x+dx,f(x)+f'(x) dx )を結ぶ線分です。ここにf'(x) はf(x)をxで微分したものです。この線分の長さをv(x)dxとすると、
v(x)dx=√{(dx)^2 + (f'(x) dx)^2} = dx√{1+ f'(x)^2} 。
さて、この線分をx軸のまわりで回転させて作った円環の面積をs(x)dxとすると、(高次の無限小を無視して)円周の長さは2πf(x)、円環の幅がv(x)dxだから、
s(x)dx = 2πf(x)v(x)dx
従って
s(x)=2πf(x)v(x)=2πf(x)√{1+ f'(x)^2}
となります。
これをx=aからx=bまで積分すれば回転体の側面の面積Aが得られる。
A = integral{x=a~b} s(x) dx

●では球面の場合。
f(x)=√(r^2-x^2) (r>0, x∈[-r,r])
の場合はどうかと言いますと、
f'(x)=df/dx=-x/√(r^2-x^2)=-x/f(x)
だから
s(x)=2πf(x)√{1+ f'(x)^2}=2πf(x)√{1+ (x^2)/(f(x)^2)}
 =2π√{(f(x)^2)+ x^2}=2π√{(r^2-x^2)+x^2}=2πr
面白いことに、s(x)はxに依らない定数になってしまいます。そして
A = integral{x=-r~r} s(x) dx
 = integral{x=-r~r}(2πr) dx
 = (2πr)(2r) = 4π(r^2)

●同じ事を極座標でやってみましょう。x=r sinθ, y=r cosθとします。
θからθ+dθまでの円弧の長さは(r dθ)。これをx軸のまわりで回転させて作った円環の半径はy=r cosθだから、この円環の面積をa(θ)dθとすると、幅(r dθ)×長さ(2πy)で表される。つまり
a(θ)dθ=2π(r cosθ)(r dθ)=2π(r^2) cosθ dθ
従って表面積Aは
A = integral{θ=-π/2~π/2} a(θ)dθ
 = 2π(r^2) integral{θ=-π/2~π/2} cosθdθ
 = 2π(r^2) [sin(π/2)-sin(-π/2)]
 = 2π(r^2) [1-(-1)]=4π(r^2)

これならどうでしょう。

●一般に、回転体の表面積を求める問題と考えましょう。
滑らかな関数f(x)による
y=f(x) ≧ 0 (x∈[a,b])
のグラフをx軸のまわりに回転させて出来るものの側面の面積A。
このグラフy=f(x)の、xとx+dx (dxは微小量)の間の部分だけ考えますと、2点(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と(x+dx,f(x)+f'(x) dx )を結ぶ線分です。ここにf'(x) はf(x)をxで微分したものです。この線分の長さをv(x)dxとすると、
v(x)dx=√{(dx)^2 + (f'(x) dx)^2} = dx√{1+ f'(x)^2} 。
さて、この線分をx...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q重積分により体積・面積を求める問題

(1)放物面z=x^2+y^2とz=4-x^2ーy^2で囲まれる体積を求めよ
以上のような問題において図形的にどちらの関数が上にくるのかいまいち判別できません。
平面上の関数なら概形や位置関係がわかるのですが・・・

(2)上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2
範囲Dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。
最初の式をf(x、y)z=√1-(x^2+y^2)、さらにg(x、y)=√3/2としても
困難な計算になるため正しい方法とは思えません。
どなたか知恵をお貸しください。

Aベストアンサー

続いて(2)について

>「上半球面x^2+y^2+z^2=1、z>0、z=√3/2」で囲まれた立体の体積Vを求めれば良いですね。
立体は半径1の半球をz=√3/2の平面で切断し、上側をそぎ落とした残りの部分の立体となります。
これもz軸を中心とした回転体の体積で求まります。

>範囲Dをx^2+y^2+z^2<=1/4と求めてからさっぱりわかりません。
この範囲をどこから出したのか、さっぱり分かりません。

立体をy=0の平面(xz座標面)で切断した座標面で考えると
回転体の体積公式を使って
 V=π∫[0,√3/2] x^2 dz , ただし x^2+z^2=1
V=π∫[0,√3/2] (1-z^2) dz
この位の積分は出来ますね。やってみて下さい。
 ( → V=3(√3)π/8 )

Q重積分について教えてください。

重積分の回答を教えてください。

次の重積分を極座標変換にて求めよ。また、積分の領域を図示せよ。

1、∬D(-x^2-y^2+1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1}
2、∬D(1/(x^2+y^2+2))dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0}

お手数ですが、回答と積分領域の図をお願いいたします。

Aベストアンサー

1
積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部(円の境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2


積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部で第一象限の部分「1/4円」(境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2}
∬_D 1/(x^2+y^2+2)dxdy
=∬_E 1/(r^2+2)|J|drdθ
=∫[0,π/2]dθ∫[0,1] 1/(r^2+2) rdr
=(π/2)∫[0,1](1/2)(r^2)'/(r^2+2)dr

あとは合成関数の積分公式を適用するだけなのでご自分でやってください。

=(π/4)ln(3/2)

1
積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部(円の境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2


積分領域Dは原点中心、半径1の円の内部で第一象限の部分「1/4円」(境界線を含む)ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)...続きを読む

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。

Q二重積分の意味について

こんばんわ。
いま大学1年なのですが、微積で二重積分∬というものを計算していて思ったのですが、この∬はx方向とy方向の双方向から積分していて今までやってきた積分を二回しているのと同じで、果たして意味があるのか?と思いました。

初めは教科書を見ていたら二重積分は立体の体積を求めているのかと思えば、三重積分で立体を求めていたので「??」となってしまいました。
どなたか簡単な例などを交えて二重積分の意味(図形のどこを求めているのか)を教えてください。m(__)m

Aベストアンサー

積分を使って曲線で囲まれた面積を求めるとき
平面図形をたくさんの細い帯に分けて考えますよね

これは例えばx方向の幅を細かくして面積をたくさんの長方形(帯)の集まりとして考えているのです

二重積分も同じことで曲面で囲まれた立体の体積を求めるのに使います
立体図形のx方向,y方向の幅を細かくし、立体を細長い柱の集まりとして考えるのです

ではなぜ三重積分でも体積が求まるかというと
それは先ほどの細い柱をさらに縦に細かく切って
立体を細かい立方体の集まりと考えるからです

体積だけなら二重積分で十分な場合も多いのですが
立体の質量を求めるとき密度が一様でなかったら
(二重積分における細い柱の真ん中と端っこが違う素材で出来ているような場合は)
立体をさらに細かくして、狭い範囲では密度が一定と考え質量を求めるのです

もし微積分の教科書を持っているならたいていのものには
二重積分で体積を求めるイメージをわかりやすくグラフや図で説明してあると思います、探してみるのもいいとおもいますよ

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q真正細菌と古細菌について

ある本に、「生物は、真正細菌と古細菌と真核生物に3大別される。」と書かれているのですが、別の本には「原核生物と真核生物」と分類されています。真正細菌と古細菌=原核生物ととっていいのでしょうか? また、真正細菌と古細菌の違いは何ですか?教えてください。

Aベストアンサー

真正細菌+古細菌=原核生物でいいと思いますよ。

えーと、古細菌というのは生物分類に新しい方法が取り入れられてから
考えられるようになったグループです。

この方法は16SrRNA(リボソームRNAにうちの16S部)の塩基配列を
比較して分類を試みる方法なのですが、この方法を用いると、
いままでバクテリア(=原核生物)として分類されていたものが
二つの大きなグループに分けられる事が判りました。
【イリノイ大学のWoeseによる】

それが、真正細菌と古細菌です。

判りやすい違いは、
古細菌には特殊な環境で生育しているものが多いという事でしょうか。

《結構あっつい所(80℃以上とかも!)で生育する『好熱菌』とか
 お塩が大好きな『好塩菌』といった顔ぶれ》

あとは、生化学的な違いですね。

細かな点は、
専門書(たいていの微生物学書にはきちんと書いてあると思いますよ)を
読んでいただくと大丈夫だとは思うのですが、一応簡単に書かせて頂くと、、、

■リボソームの細かな構造が違う
■細胞壁の脂質の構成が、真正細菌ではエステル(結合)型、
 古細菌ではエーテル(結合)型となっている。

                       などです。

ちょっと自分の怪しい記憶で書かせて貰ったので、間違っているかも・・・
だとしたら本当にごめんなさいね。

もっと知識のある方がお答えになった方がいいと思うので、
僕のは参考程度で・・・

ではでは。
でも、けっこう古細菌には面白い細菌が多いですよ。(^^)

真正細菌+古細菌=原核生物でいいと思いますよ。

えーと、古細菌というのは生物分類に新しい方法が取り入れられてから
考えられるようになったグループです。

この方法は16SrRNA(リボソームRNAにうちの16S部)の塩基配列を
比較して分類を試みる方法なのですが、この方法を用いると、
いままでバクテリア(=原核生物)として分類されていたものが
二つの大きなグループに分けられる事が判りました。
【イリノイ大学のWoeseによる】

それが、真正細菌と古細菌です。

判りやすい違...続きを読む


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