(x-x^-2)^3nの展開式において、xを含まない項を求めよ。

(x-x^-2)^3nの展開式において、xを含まない項を求めよ。

以下、文系脳で考えた解ですが、自信がありません。ご検証を御願い致します。


(x)^p-(x)^(-2*q)を考えてp-2q=0のとき(x)^0となる。
さらにp+q=3nとなる。つまりは3の倍数であり、整数部分を考えるとp+q=3になる。


p-2q=0かつp+q=3より(2,1)このときの係数は二項定理の応用で
3!/(2!1!)*1^2*(-1)^1=-3

ｘを含まない項の整数部分は―3となり、その項自体は全て―3nとなる？

まったくあっている気がしません…

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/09 01:40

「整数部分を考えると」が無意味です.

素直に p-2q = 0 と p+q=3n から進めればいいのに.

この回答への補足

p-2n q=n と考えたとき、行き詰るんですよ。

{(3n)!/((2n)!*n!)}*1^(2n)*(-1)^nから進めません．．．orz

補足日時：2010/01/09 19:10

No.2 回答者： de_tteiu 回答日時： 2010/01/09 01:40

p-2q=0

p+q=3n
は合ってますね

ここから、p＝2n、q＝nとなります
後は二項定理を使えば解けますね

この回答への補足

p-2n q=n と考えたとき、行き詰るんですよ。

{(3n)!/((2n)!*n!)}*1^(2n)*(-1)^nから進めません．．．orz

補足日時：2010/01/09 19:11

No.3 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/09 13:49

不思議な答案ですね。

最後に -3 じゃなく -3n としている
理由も分からないし。

( (x+x~-2)~3 )・n という問題なら、
それで正解なんだけれど。
(x+x~-2)~(3n) なんですよね？

この回答への補足

はい、(x+x~-2)＾(3n) なのですよ。

補足日時：2010/01/09 19:12

No.4 回答者： aqfeplus 回答日時： 2010/01/09 23:59

質問者さんの

「つまりは3の倍数であり、整数部分を考えるとp+q=3になる。」
という考え方は、私の推測ですが（間違えていたらごめんなさい）、

「『xを含まない項』は展開式を考えると、何項か出現するはずで、
　それはn個できるはずで、とりあえずp+q=3で計算して、
　あとでn倍すればよい」

という感じの考え方ではないでしょうか？
そうではなくて、

{x - x^(-2) }^(3n) の展開式において、xを含まない項というのは、
nの数に関係なく、展開後は１項しか出てきません。
（3とか6とかで、２項定理を用いて一度展開してみたら分かる
と思います）

その項となるのが、p-2q=0、かつ、p+q=3nを満たすp,qであって、
つまりはp=2n,q=nであって、
その項は、
(3n)_C_p * x^(p) * {-x^(-2)}^(q)　（←当然xは消えます）
=(3n)_C_(2n) * (-1)^n
となります。