回帰直線の式について教えてください。

回帰直線の式について教えてください。
エタノールの生産量とトウモロコシの生産量についてなのですが、
年バイオエタノール生産量（億リットル）トウモロコシ生産量（百万トン）
2000年76　　　15
2001年81.218
2002年9625
2003年120.627
2004年143.234
2005年162.141
2006年191.555
2007年24686

となっており、散布図からＲ２を調べてみたところ、0.9598でした。
回帰直線の式を　トウモロコシ生産量＝　？　ｘ　エタノール生産量　+　？
で表すときの？の求め方が分かりません。

あと、予想だと、2008年、2009年には、トウモロコシの生産量がどうなってるかを
求めることはできますか？
更にで申し訳ないのですが、トウモロコシの生産量が、百万トン増えると、エタノールの生産量はどのくらい増えますか？

分かりづらい質問で申し訳ないのですが
課題で困っています；；教えてもらえるとありがたいです。

No.4 回答者： tochiji 回答日時： 2010/01/12 20:45

まず、統計学のきわめて基本的な事項について確認。

因果関係が存在する変数（データ）の関係性を求めるモデルを解く手法を“回帰分析”と言う。
例えば、所得と支出の関係（需要関数）や生産要素の投入量と生産物の生産量の関係（生産関数）がこれに該当し、これらを指して“モデル”とも呼ぶ。
これらのモデルは、既に先験的・理論的にに認められた因果関係の存在が確認されており、前者（例えば所得）は説明変数、後者（例えば支出）は被説明変数と呼ばれるもので「原因」と「結果」を意味する。
さらに付け加えるとすれば、この需要関数の関数型を両対数とすれば、パラメータとして求まる値は所得弾性値になる。

パラメータとはあなたが質問文で書いている“？”部分であり、具体的に回帰分析を通じて求められる値である。
この程度のことは、基礎ミクロとエコノメの教科書を調べておくこと。

因果関係そのものではなく、単に変数間の関係性を見たいのであれば、相関分析になる。
例えば、学童の欠食率と事業中のよそ見の回数等は先験的に因果関係があるだろうから回帰分析として扱うに相応しいが、例えば学童の欠食率と旅客機利用者数には通常因果関係はなかろう。
ただし、数字のお遊び程度に関係性を見つけ出してみることを否定しない。
このような場合に相関係数を求め、相関分析を行う。

ただし、相関分析にしろ、回帰分析にしろ、データを入手してPCでExcelを回せば計算結果は得られる。
ここに“出来たつもり”に陥る罠がある。
言い換えれば、この手の分析は“モデル”の中身として、どのような論拠に経ち、変数を設定しているのかが肝要。

さて、あなたの質問の本論に入ろう。
回帰分析を解く場合、かつては正規方程式を用いてせこせこと解いていたが、PCが普及した今日、正規方程式そのものを解く、という作業にはほとんどお目にかからないものとなった。
回帰分析そのものは高価なTSPやSPSSを買わなくとも、Excelでも解ける。
お尋ねの“？”部分はパラメータと呼ばれ、回帰分析、あるいは正規方程式を通じて求めるべき値、普通にExcelで計算すれば出力される。
このパラメータ“？”と説明変数として2008年のバイオエタノールの生産量が分かった後、“？”の判明した式にこの値を代入すれば、計算上2008年のトウモロコシの生産量は求まる。

ただし、その前に、同じ年次のバイオエタノール生産量とトウモロコシ生産量がここまでダイレクトに規定しあうのか？何らかのタイムラグはないのか？生産量を別の生産量で説明するというのは理論的にどうなのか？検証されたい。
さもなくば、全く根拠に乏しいモデルを解くことになりかねず、ただ計算問題が解けたとぬか喜びに終わる可能性大である。。

ヒントをひとつ。
あなたの示す“モデル”は「トウモロコシの生産量は、エタノールの生産量によって説明される」というものだが、これは理論的に、あるいは実態論的に正しいのかを吟味すること。
例えば、生産者行動を見るならば、むしろ「説明変数は、バイオエタノールの生産量ではなく、バイオエタノール用トウモロコシの農家買取価格によって説明されるのではないか？」という可能性が高いのではないか？
その根拠は「一年前の農家買取価格」によりトウモロコシ生産者の作付行動に対するインセンティブとして作用する可能性があるから、である。
これは、ナーロフ型生産関数をベースに考えるとイメージしやすいだろう。

No.3 回答者： kgu-2 回答日時： 2010/01/10 01:37

面白そうなので、書き込みます。

ただ、課題なのでアドバイスだけ。

>トウモロコシ生産量＝　？　ｘ　エタノール生産量　+　？
この式を求めよ、と指示されているのですか。この式からは、エタノール作るとトウモロコシが出来ることになります。これが出来る人は天才です。普通の人は、トウモロコシからエタノールを生産します。これは、大学の4年生レベルでも可能です。
　エタノールをx、トウモロコシをyとして、エクセルなどで散布図をかきます。式の?は、近似式を書かせれはOK。式は、回帰式といいます。
　xとyとの関係(回帰式)が直線でなければ、対数、指数、回帰などを試みて下さい。

No.2 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/09 18:27

追加。

生産量がどのような増加を示しているかという仮定によって、2008年,2009年の生産量予測結果はだいぶ変わりますね。

課題ということであれば、このあたりの考察も含めるとよいでしょう。

No.1 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/09 17:27

「最小二乗法」で調べてみるとよいでしょう。

例えば以下のサイトなどは参考になるでしょう。
http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms1.html
http://www12.plala.or.jp/ksp/computPhys/least-sq …

上記のサイトなどを参考にして、トウモロコシ生産量をy、エタノール生産量をxとすれば、トウモロコシ生産量とエタノール生産量の関係式が求められます。

こうして求められた式を y = ax + b としましょう。この式を使えば、「トウモロコシの生産量が、百万トン増えると、エタノールの生産量はどのくらい増えるか」がわかりますね。


トウモロコシの生産が年を追うごとに直線的に増加するという仮定であれば、トウモロコシ生産量をy、年をxとして、上と同じことをして式を求めてみましょう。求まった式のxに2008, 2009を代入すれば、生産量の予測ができますね。

直線的増加ではなく別の仮定を置くのであれば、その仮定の式に基づいて回帰曲線を求めることになります。どのような式を仮定するのがよいかは、年をx、トウモロコシの生産量をyとするグラフを描いてみるとわかります。