球に内接する正四面体

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質問者：hohoho0507
質問日時：2010/01/17 20:02
回答数：1件

正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は、底面の三角形の外接円の中心であることはわかるんですが、この垂線が球の中心を通っていることは証明可能ですか？？

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： debut
回答日時：2010/01/17 20:31

話は、正四面体の外接球ということでいいですか？

正四面体をＡＢＣＤとし、△ＢＣＤの重心(つまりは△ＢＣＤの外接
円の中心ですが)をＧとします。また、ＡＧ上の点をＯとします。
△ＯＧＢと△ＯＧＣにおいて、
ＯＧは共通
∠ＯＧＢ＝∠ＯＧＣ（＝90°）
正三角形の中線は等しく、それを２：１に分けたときの線分の長さ
は等しいから、ＢＧ＝ＣＧ
この３つから、２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいので
△ＯＧＢ≡△ＯＧＣ
よって、対応する辺は等しいので、ＯＢ＝ＯＣ
同様に、ＯＢ＝ＯＤ
つまり、ＡＧ上の点は常に３つの頂点から等しい距離にあります。
で、ＡＢ,ＡＧ,ＢＧ,ＢＯの線分の長さの関係から、ＡＧ上にＯＡ
＝ＯＢとなる点Ｏをとることができて、それが外接球の中心と
なります。
よって、外接球の中心は正四面体の頂点から底面に引いた垂線上に
ある。