有限アーベル群Ｇの位数が相異なる２素数ｐ、ｑの積であるとき、Ｇは巡回群

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質問者：kenchiji
質問日時：2010/01/19 10:21
回答数：3件

有限アーベル群Ｇの位数が相異なる２素数ｐ、ｑの積であるとき、Ｇは巡回群であることを示せ。

という問題があるのですがよくわかりません。できれば詳しく教えていただけると嬉しいです！

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： alice_38
回答日時：2010/01/19 19:39

大抵の教科書に書いてありませんか？

構造定理を使わずに、手作りっぽく
書いてみると…

G の元で、単位元でないモノの一つを a とし、
a が生成する G の部分群を A とする。
A の位数は、ラグランジェの定理より、
G の位数の約数 1,p,q,pq のどれかになる。
(0) 位数が 1 の場合。
a が単位元でないから、これはありえない。
(1) 位数が p の場合。
可換群の部分群は全て正規部分群だから、
G は A と商群 G/A の直積に分解する。
A,G/A は位数 p,q の部分群であり、
素数位数だから巡回群である。
巡回群同士の直積群は、巡回群となる。
(2) 位数が q の場合。
同上。
(3) 位数が pq の場合。
単項生成の部分群は巡回群だから、
G = A は位数 pq の巡回群になる。