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大学のテスト勉強の数?の定積分でわからないとこがあり、困ってます。

(1)∫tanxdx x:0→π/4

(2)∫tan(-1乗)xdx x:0→1

(3)∫1/(3x+1)dx x:0→1

答え
(1)2/1log2

(2)π/4-1/2log2

(3)2/3log2

です。

わかる方がいたら教えてください!!

A 回答 (3件)

(1)答え間違い


∫[0→π/4] -(cos(x))'/cos(x)dx=[-log(cos(x))] [0→π/4]
=log√2=(1/2)log2

(2)
I=∫[0→1] arctan(x)dx
tan(t)=xと置換積分するとdx=dt/(cos(t))^2,
x:[0→1]→t:[0→π/4]なので
I=∫[0→π/4] t/(cos(t))^2dt
部分積分して
=[t*tan(t)] [0→π/4] -∫[0→π/4] tan(t)dt
=π/4-(1/2)log2 (∵(1)の結果利用)

(3)
I=∫[0→1] 1/(3x+1)dx=(1/3)∫[0→1] 3/(3x+1)dx
=(1/3)[log(3x+1)] [0→1]
=(1/3)log4=(2/3)log2
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます!
無事三題とも解けました(^O^)/

お礼日時:2010/01/22 14:20

全部教科書に載っているような問題だと思います。


(3)がわからないようであれば(1)(2)はわかりません。

∫(1/x)dx=ln(x)
です。
lnは自然対数です。logという表現には注意が必要です。
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(1)


tanx = sinx/cosxと変形しましょう。
後は分母をuとおいて置換積分してください。

(2)
「tan(-1乗)x」というのは1/tanxのことでしょうか?
それともtanの逆関数(arctan)でしょうか?

前者なら、(1)とほとんど同じです。
後者なら、∫logxdxの不定積分の求め方と同様の方法で解けます。

(3)
分母をuとおいて、置換積分しましょう。
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