【問題】双曲線Ｃ：ｘ＾２－ｙ＾２＝１と点Ａ（２，０）がある。

【問題】双曲線Ｃ：ｘ＾２－ｙ＾２＝１と点Ａ（２，０）がある。
【１】点Ａを通り、双曲線Ｃと１点のみで交わる直線の方程式を求めよ。（※解決済み）答：y=-x+2, y=x-2
【２】直線Ｌが点Ａを通り、双曲線Ｃと２点Ｐ，Ｑで交わる。ＰＱの中点Ｍの軌跡を求めよ。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/24 23:49

こんばんわ。

2次曲線と戦ってますね ＾＾

【２】のさわりだけ
直線Ｌは
・点Ａを通る。⇒直線の傾きが未知数（媒介変数）になる。
・双曲線Ｃと２点で交わる。

双曲線と直線の交点は、2次方程式の解として与えられるはずですね。
2次方程式をよく見ると、中点の座標を簡単に表すことができます。
中点は直線Ｌ上の点ですから、x座標だけわかれば表せますよね。

あとは、媒介変数を消せば・・・ですね。

この回答への補足

直線Ｌはどのようにあらわしたらいいのでしょうか??
ax+by+c=0といて点Ａを通るからそれを代入して文字を一つけすのか…。
それともy=ax+bとおくのか…。。。

媒介変数は双曲線の場合x=a/cosθ,y=b*tanθというのは知っているのですが…どう使えばいいのかわかりません…。。。

もう少しヒントをください＾＾；

補足日時：2010/01/25 00:02

この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ(8分音符)

お礼日時：2010/01/28 21:30

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/25 00:14

もっと素直に考えましょう。

＾＾

傾きが kで、点(2, 0)を通る直線の式はどう表すことができますか？
いまの問題では、ここに出てくる「k」が媒介変数（パラメータ）になります。

kについては「2点で交わる」ことが条件となるので、当然「ある範囲であること」が条件として与えられるはずです。
式を整理してしまうと、2次方程式の問題になりますね。

この回答への補足

直線Ｌをy=の形で表して双曲線の方程式に代入して、xについての2次方程式をつくり、まずは、（判別式）≧０としてみました。その結果、3k^2≧-1となりkはすべての実数においてなりたつことがわかりました!!!
それからそのxについての2次方程式で解と係数との関係を用いて中点Ｍの座標を求めました。
Ｍ（x,y）とおいて、どうやってｋを消去したらいいのですか??
ちなみに…M{2k^2/(k^2-1)),2k/(k^2-1)}です。。。

補足日時：2010/01/25 00:36

この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ

お礼日時：2010/01/28 21:30

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/25 01:01

もう大詰めですよ。

＞＿＜

点Mの座標を（X, Y）として
X= 2k^2/(k^2-1), Y= 2k/(k^2-1)から、kを消去します。（Xと Yの関係式にする）
ある意味「無理やり」kを消去します。2乗してでも消してやる！ぐらいの気持ちでやればできますよ。


判別式から kの値に制限がないとわかりましたが、
双曲線と点Ａの位置関係を見れば当然のことだということがわかりますね。

この回答への補足

ｋ＝±１のときが軌跡の限界ってことはわかりましたが…
あれから軌跡をどうしても求められません…

どのようにしたらいいですか??

補足日時：2010/01/25 01:17

この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ(8分音符)

お礼日時：2010/01/28 21:29

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/25 03:12

　だいぶ苦労しているようですので、サポートさせてください。

　（naniwacchiさん、お邪魔します。）

＞M{2k^2/(k^2-1)),2k/(k^2-1)}です。。。

　ここまでくれば、あとは、naniwacchiさんが示されたように、中点Mの座標を（X、Y)とおき、媒介変数ｋを使って次のように表します。

　　X＝2k^2/(k^2-1)　　　・・・・・（１）
　　Y＝2k/(k^2-1)　　　　・・・・・（２）

　ここで、式（１）の右辺は少し簡単にできますので、次のように変形しておきます。

　　X＝2 + 2/(k^2-1)　　・・・・・・（１’）

　この式から　1/(k^2-1)　と　k（これは強引？に）を　Ｘ　で表します。

　　1/(k^2-1)＝(X-2)/2
　　k＝±√{X/(X-2)}

　この２つの式を　式（２）に代入します。

　　Y＝2×[±√{X/(X-2)}]×(X-2)/2
　　　＝±√{X(X-2)}　　　　（複号任意）

　ここで、複号を消すために両辺を２乗します。

　　Y^2＝X(X-2)
　∴(X-1)^2-Y^2＝１　　　・・・・・☆

　（なんと、双曲線Ｃを＋ｘ軸方向に１だけ平行移動したグラフになります。）



　ちなみに、式（１’）、（２）から　ｋを消去する方法ですが、　(X-1)^2　と　Y^2　を計算すると　ともに　

　　4/(k^2-1)^2 + 4/(k^2-1)

という項が出てくるので、ここから　式☆　の軌跡を得てもかまいません。（結果論的に見えるかもしれませんが。）

　以上、失礼しました。

この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ(8分音符)

お礼日時：2010/01/28 21:29

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/25 10:55

Mr_Hollandさん、フォローありがとうございます。

計算ぐらいは自分でやらないと、後に残らないと思ってる人なもので ＾＾；

Mr_Hollandさんの(1)式、(2)式から導く方法として、次のような方法も。
（2乗してでも消してやる！のやり方です。）
・(1)式を k^2= (xの式)の形に変形します。
・(2)式の両辺を 2乗すると、k^2だけの式に変形できます。
・先の k^2= (xの式)を代入します。

これで同じ結果を得ることができます。
当然のことながら、計算途中で (分母)= 0を考慮しないといけないところがいくつかあります。

k= ±1のときですが、最初の 2次方程式に立ち返りましょう。
というよりも、「2次」方程式とみる時点で考慮しないといけないところです。
方程式は「1次」方程式のときもありますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました('▽'*)ニパッ(8分音符)

お礼日時：2010/01/28 21:28