ラグランジュ乗数法を使って
関数f(x,y)=-x^2+4x-y^2+2y-5
を以下の3つの制約条件の下で最大にする。
(1)g(x,y)=x+y-4≦0 x≧0,y≧0
(2)g(x,y)=x+y-2≦0 x≧0,y≧0
(3)g(x,y)=x+y-1/2≦0 x≧0,y≧0
(1)では(x,y)=(5/2,3/2)
(2)では(x,y)=(3/2,1/2)
(3)では,普通にラグランジュ乗数法を使って解くだけだと(x,y)=(3/4,-1/4)となりますが、非負制約を満たしません。
どなたかよろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f(x,y)=-x^2+4x-y^2+2y-5=-{(x-2)^2+(y-1)^2}
は,点(2,1)からの距離(の2乗)の減少関数なので,点(2,1)に最も近い点で最大.
すると(3)では「(x,y)=(1/2,0)のとき最大」でしょう.
早速の回答ありがとうございます。
私もやってみてそうではないかと思いました。
ラグランジュの未定乗数を使って、機械的に解くとどうやって(x,y)=(1/2,0)を出せるでしょうか?
ラグランジュ乗数を使うための練習問題なので。
クーン・タッカーの条件をうまく使いたいのですが…
No.2
- 回答日時:
クーン=タッカー条件というものは全く初めてです.
h(x,y)=-g(x,y)=1/2-(x+y)≧0・・・(*)
と定義して,
ラグランジュ関数L=f+μ(h-s)
(ただし,s=h(x,y)はスラック変数,μはクーン=タッカー乗数[≒ラグランジュ乗数])
に対して形式的に適用すると,6本の不等式と3本の等式(相補条件)が書けるようですね.
ラグランジュ乗数と区別して,クーン=タッカー乗数μと書けば,μ≧0の条件もつきますが,μ=0と仮定すると,x≧2,y≧1となって(*)に反します.
よって,μ>0ですが,すると相補条件の一つよりg=0⇔x+y=1/2 が出ます.
後はまともに解くよりは x≧0,y≧0 を考えて f(x,y)を1文字で表して最大値を出す手が考えられますが,練習のためならば頑張ってみてもよいでしょう.
以上,導出の詳細については責任は負えませんので,ご自分でお確かめ下さい.
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