角θは、0＜＝θ＜＝Πにおいて、絶対値（２cosθ＋sinθ）＜＝１を

角θは、0＜＝θ＜＝Πにおいて、絶対値（２cosθ＋sinθ）＜＝１を満たすとする。

１、sinθのとる値の範囲を求めよ。
２、cosθ＋sin２θのとる値の範囲を求めよ。

この問題がわかりません。教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/18 23:54

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと

解くのが難しいかと思います。

1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3＜a＜π/2)
π/3≦θ+a≦π+a＜3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で　f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5))=-4/5
sinθ=-(2/5-1)=3/5
　sin(2θ)=2cosθsinθ=-24/25
最小値f((3/2)π-2arccos(1/√5))=(3/5)-(24/25)=-9/25
∴-9/25≦cosθ+sin(2θ)≦0

この回答へのお礼

解りやすい解答有難うございました。

お礼日時：2010/03/06 22:56

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/19 17:54

＞グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと解くのが難しいかと思います。

難しく解くから、そういう感想になる。。。。。ｗ

cosθ＝x、sinθ＝y、とすると、x＾2＋y＾2＝1　0≦y≦1、｜x｜≦1、-1-2x≦y≦1-2x　‥‥(1)
(1)をxy平面に図示すると、とり得る値の範囲は　単位円のＡ（0、1）、Ｂ（-4/5、3/5）の間。

＞１、sinθのとる値の範囲を求めよ

3/5≦y≦1　は明らか。

＞２、cosθ＋sin２θのとる値の範囲を求めよ

Ｐ＝x＋2xy＝（2y＋1）*x　という2変数問題の最大値と最小値になる。
3/5≦y≦1、-4/5≦x≦0　であり、2y＋1＞0より　傾きが正のxの一時関数。
あとは簡単だろう。