公務員 資本労働比率の問題

ある合理的な企業の生産関数が次のように示されている

x=2(LK)^0.5 (x;生産量　L：労働投入量　K；資本投入量）

資本労働比率が（Ｋ/Ｌ）＝９のとき労働限界生産量はいくらか？

自分の回答
Ｋ/Ｌ＝９　より　Ｋ＝９Ｌ
x=2(LK)^0.5 に代入して
x=2(L＊９Ｌ)^0.5＝６Ｌ
XをＬで微分して
労働限界生産量＝６となる

解答　
x=2(LK)^0.5をLに関して偏微分をして
（Ｋ/Ｌ）＾０．５
となりＫ/Ｌ＝９を代入して
９＾０．５＝３となる

となっていたのですが偏微分してから代入する解答法だったのですが
先に代入してから微分してはいけないのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/02/27 19:00

>先に代入してから微分してはいけないのでしょうか？

いけません。
関数 X において K と L は独立に（互いに勝手に）変化する量です。L が決まるとそれに応じて K が決まるというものではありません。ですから、L に関する X の変化率を求めるためには、元の式を L に関して偏微分しなければなりません。

>（Ｋ/Ｌ）＝９のとき

というのは、K と L がそのような関係を保ちながら変化するとき、という意味ではなく、独立に変化する２変数の間に（たまたま）そのような関係があるとき、という意味でしょう。

１変数の（あまりよくない）例：
　関数 y = x^2 で x = 1 のとき dy/dx はいくらか、という問題では、まず dy/dx = 2 x を求め、そこに x = 1 を代入して 2 を得ます。決して、y = x^2 に x = 1 を代入して y = 1 とし、それを微分して 0 とはしません。

素人ですので、そのつもりで。