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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dxという積分を考えると、
∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dx=1/(1+α^2)となる。・・・(1)
(1)はαに関して一様収束するので今、(1)をαに関して積分すると
∫[0,α]dα∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dx
=∫[0,∞]e^(-x)(sinαx/x)dx
=∫[0,α]1/(1+α^2)dα
=arctan(α)となる。これをもう一度αに関して積分すると
∫[0,α]dα∫[0,∞]e^(-x)(sinαx/x)dx
=∫[0,∞]e^(-x)((1-cosαx)/x^2)dx=∫[0,α]arctan(α)dα
=αarctan(α)-1/2・log(1+α^2)・・・(2)
x=bx,α=1/bとおいて(2)式に代入すると
1/b・∫[0,∞]e^(-bx)((1-cosx)/x^2)dx=(1/b)・arctan(1/b)-1/2・log(1+(1/b)^2)
∴∫[0,∞]e^(-bx)((1-cosx)/x^2)dx=arctan(1/b)-b/2・log(1+(1/b)^2)
b→0の極限をとると
∫[0,∞]((1-cosx)/x^2)dx=π/2 ・・・(3) (ロピタルの定理からb/2・log(1+(1/b)^2→0)
(3)でxをx=2tおよびx=-2tとして足すと
∫[0,∞]((1-cosx)/x^2)dx
=∫[0,∞]((1-cos(2t))/t^2)dt
=∫[0,∞](sin(t)/t)^2dt=π/2・・・(4)
∫[0,-∞]((1-cos(-2t))/t^2)(-dt)
=∫[-∞,0]((1-cos(2t))/t^2)dt
=∫[-∞,0](sin(t)/t)^2dt=π/2・・・(5)
(4)+(5)
=∫[-∞,∞](sin(t)/t)^2dt=π
この回答へのお礼
お礼日時:2010/03/13 22:32
非常に助かりました。
このような、単純な方法で解けるとは思ってもいませんでした。
ずっと使えない留数定理で発散する計算をしていた自分が馬鹿らしく思えてきました。
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