「 f を集合 Ｘ から 位相空間（Ｙ、U)への全射とするとき、以下を

「　f　を集合　Ｘ　から　位相空間（Ｙ、U)への全射とするとき、以下を示せ。

１．Ｔ＝｛　f＾－１（u）｜uはUに含まれる｝とおくとき、ＴはＸ上の位相である。

２．Ｔは　f　を（Ｘ、Ｔ）から（Ｙ、U)への連続写像とするＸ上の最小の位相である。」

という問題についての質問です。


まず、１番は　位相の三つの条件を一つずつチェックして行けば良いので、大体はわかったのですが、　最も基本的な条件である、「Tが空集合とＸ自身を含む」というのが示せませんでした。これはどのようにして示すのでしょうか？

それから、2番について、連続写像であることは　f　の定義の仕方から明らかだと思うのですが、
「最小の位相である」という部分はどのようにして示せばよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2010/03/24 21:34

１．

φ∈Tは、f^-1(φ)=φから。
X∈Tは、f^-1(Y)=Xから。(fは写像だからXのどの元の像もYに入る)

２．
X上に適当な位相Vを取って、Vでfが連続という条件からT⊆Vを示す。
まあ自明ですが。

この回答への補足

迅速な回答ありがとうございます。
今　考え中です。また二、三日したら
ご返答したいと思います。（すみません　今　やらなければならないことが多すぎて・・・）

補足日時：2010/03/26 00:50

この回答へのお礼

１番に関しては、そもそも　全射の定義を勘違いしていたようです。

２番は　教えて頂いたやりかたで　証明できました。

お礼が遅れてすみませんでした。

おかげさまで　解答を作れそうです。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/03/29 16:39