同次形高階微分方程式について

同次形高階微分方程式について
同次形高階微分方程式の単元を読んでいますと、「y,dy,d2y について同次の場合」とか「x,dx について同次の場合」とあるのですが、式を見てy,dy,d2y について同次なのか、x,dx について同次なのか判断できません。具体的には、
xy(d2y/dx2)-x(dy/dx)^2+y(dy/dx)=0 はy,dy,d2y について２次の同次形で、x^2(d2y/dx2)+x(dy/dx)+y=0 はx,dx について０次の同次形
であるとありますが、どのように判断すればよろしいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2010/04/16 15:46

形の上からだけいうと「ｄを外して見る」ということです。

xy(y/x2)-x(y/x)^2+y(y/x)=0
要するにy^2/x

x^2(y/x2)+x(y/x)+y=0
要するにｙ

これはxとdxは同じ次元(単位)を有しyとdyは同じ次元(単位)を有していると考えるならばおかしなことではありません。

d^ny/dx^nはy/x^nと同次と考えるのがコツです。

この回答への補足

spring135様ありがとうございます。なんとか理解することができました。しかしながら、微分方程式の解を求める上で、なぜ、このような考え方が必要なのでしょうか？微分方程式の解の求め方を十分に理解しきれておりません。申し訳ございませんが、アドバイスの程よろしくお願いたします。

補足日時：2010/04/16 16:55

No.2 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/04/17 12:39

y=a*(e^z)（aは定数）

とおいてyの代わりにzについての方程式に書き直すと、非線形の部分が指数関数に吸収され、同次性の関係で指数部分が一致してうまく消えてくれるので、線形の方程式が得られます。

さらに、w=dz/dxとしてwについての方程式に書き直すと、きれいに変数分離型（今回だとx(dw/dx)+w=0）になりますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。しっかり考えてみます。

お礼日時：2010/04/17 20:01