参考書を読んでいると、よくラグランジュの未定乗数法が出てきますが
その未定乗数法で、適当な定数としてλ(ラムダ)をかけて計算していますが
このλの意味は何でしょうか
これを説明している本が見つからなくって・・・

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適当 意味」に関するQ&A: 適当の意味

A 回答 (4件)

> ずれを補正するためにあるってことでしょうか



λはずれの補正ではありません.
こういうことを書かれているところを見ますと,
大変失礼ですがラグランジュの未定乗数法の理解が不十分なように思われます.

ラグランジュ未定乗数法は,
関数の拘束条件付き極値や拘束条件付き変分法などのときに用いられます.
拘束条件が付いていると面倒なので,
拘束条件をなくしてしまえというのがこの方法の精神です.
ただし,何も代償を払わないで拘束条件がなくなるなんてうまい話は
普通はありません.
ラグランジュ未定乗数法では,拘束条件を1つなくす代わりに,
独立変数が1個増えます.
その増えた変数がλです.

問題を解いた後に,λは自然に定まります.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
で,stomachman さんが一般論を,私が易しい例題を回答していますので,
まずはそちらをご覧下さい.
私の例題の(1)(3)(4)から極値の時のx,y,λが定まります.
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この回答へのお礼

うう~、皆さんにいろいろと親切に解説していただいたのに、やっぱりまだわかりませんでした
私の基礎学力不足が一番の問題と思い、物理数学の本などをもう一度読み直すことにしました
今回はありがとうございました

お礼日時:2001/04/08 23:46

たとえばルジャンドル変換の共役な変数みたいなものと考えればいいのではないでしょうか?



たとえば熱力学においてエネルギーUが体積V(示量変数)に対して
U=U(V)
で与えられているとき、体積一定V0でエネルギーを最小にしようと思うとpをパラメータとして
U=U(V)+p(V-V0)
として(ルジャンドル変換ですね)、勝手なVでUを最小にするものVeqを選びます。このとき、Veqはpをパラメータとして含みます。したがって、UはVeqをとおしてpの関数となります。このときの熱平衡条件(pを変数としたとき、エネルギー変化が無くなるVを選ぶ=つまり外界からの体積の流入によって熱平衡に達したという条件)が
∂U/∂p = Veq(p) -V0 =0
で、束縛条件に他なりません(これを満たすpを決めるのがラグランジュの未定乗数決定法です)。つまり、Vが変数だった系からVに揺らぎがあるような系に移って最小をあたえるものとしてVがきまり、そのときのパラメータがpとなるという意味です。熱力学をやっていれば、pは圧力(Vに対する示強変数)でなければならないことは明らかです。・・・という具合に物理では単なる係数としてではなく意味のある物理量が出てくることが多いです。

でも、分かりやすいのは、長さlの糸でつるされた(束縛された)系
 L=1/(2m){(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}-gy+λ(x^2+y^2-l)
を適当に近似して単振動運動を再現してみてλが何であるか見てみれば係数が重要な意味があることが分かると思います。(というか次元解析をすればそりゃそうだという感じなんですけどね)
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ちょっと、下の私の答え方が端的過ぎて悪かったですかねぇ。

。反省してます、。
siegmundさんが下で書いてる通り、λは(条件式に乗ずる未だ定まっていない)変数なんですけど。

説明している本は、例えば「解析力学」の中のLagrange方程式を導くさいに、未定乗数法を用いてやり方もよく載っているのですが。手元に本がないので本の名前が分からないのでなんとも言えませんが探せばすぐみつかると思いますよ。

でも、実際のところあんまし意識しないことってありますよね。偏微分してもとまっちゃえばOk~っでほとんど済ましちゃってますし。分野によってはだんだん使わなくなってきてしまいますし。
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λ:未定乗数


では駄目ですか?
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この回答へのお礼

む!?
ずれを補正するためにあるってことでしょうか
だったら私はいったい何を考えてたんでしょう・・・

お礼日時:2001/04/02 00:39

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Qコブダグラス型効用関数(4つの変数を持つ時)の最適解を教えてください。

経済学のコブダグラス型効用関数の話についてです。

以下のような4つの変数の時,ラグランジュで各変数の最適解は求めるとどのような値になるのでしょうか?
(効用最大化つまりUが最大値を取る時のX1~X4の最適な組み合わせを求める問題です。)

U=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e (b+c+d+e=1)
s.t.X1*P1+X2*P2+X3*P3+X4*P4=V

X1~X4:各財の数量
P1~P4:各財の価格
V:予算制約
A:定数
b,c,d,e:X1~X4に対するパラメーター

一般的な2変数の形(資本K,労働L)だと簡単に理解できるのですが,変数が増えると自信がなくなります(自分の数学の能力の問題だと思うのですが…)。

本当にわからないので焦っています。どなたかわかる方がいらっしゃいましたら御教示下さい。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

ラグランジュ関数が
L(X1,X2,X3,X4;λ)=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e+λ(V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4)
です。これをそれぞれの変数で偏微分して=0とおくわけですから、
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X2=A*c*X1^b*X2^(c-1)*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X3=A*d*X1^b*X2^c*X3^(d-1)*X4^e=0
∂L/∂X4=A*e*X1^b*X2^c*X3^d*X4^(e-1)=0
∂L/∂λ=V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4=0
の5つの式を得ます。この連立方程式をド根性で解けば良いわけです。

ただ、この問題の場合、コブダグラス型効用関数ですし、上の連立方程式を解かずとも答えは出せます。
xi=(対応するパラメータ)*V/(b+c+d+e)Pi (i=1~4) …(1)
です。
b+c+d+e=1
なわけですから、
Xi=(対応するパラメータ)*V/1*Pi (i=1~4)
になります。
なので、答えは
X1=b*V/P1
X2=c*V/P2
X3=d*V/P3
X4=e*V/P4
です。
どうしても、ラグランジュ乗数法を解いて答えなくてはならない場合は、上の連立方程式を解けば同じ答えが出ますが、時間かかるのでおすすめしません。解く必要がないのなら、(1)式覚えちゃいましょう。

ラグランジュ関数が
L(X1,X2,X3,X4;λ)=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e+λ(V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4)
です。これをそれぞれの変数で偏微分して=0とおくわけですから、
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X2=A*c*X1^b*X2^(c-1)*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X3=A*d*X1^b*X2^c*X3^(d-1)*X4^e=0
∂L/∂X4=A*e*X1^b*X2^c*X3^d*X4^(e-1)=0
∂L/∂λ=V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4=0
の5つの式を得ます。この連立方程式をド根性で解けば良いわけです。

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QR(λ),G(λ),B(λ) =?

 波長λの光が持つ色彩を,パソコンのディスプレイ上で再現したいと思っております。R 値,G 値,B 値の波長の関数,すなわち R(λ),G(λ),B(λ) の式(多少大雑把でも構いません)をご存知の方がおられましたら,是非教えていただきたいと思います。

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Aベストアンサー

興味があったので検索してみました。
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n個の変数の組X=(x_1, x_2, ... , x_n)について束縛条件 g_k(X)=0 (k=1,2,...,m)のもとで関数f(X)が極値をとるときのXを求めます。f(X)が極値をとるならば、
(ア)Σ[k=1 to n](∂f/∂x_k)dx_k = 0
(イ)Σ[k=1 to n](∂g_p/∂x_k)dx_k = 0  (p=1,2,...,m)
ここに別のm個の変数の組Λ=(λ_1, λ_2, ..., λ_m)があって、それらが適切な値をとったとき
(ウ)(∂f/∂x_s) - Σ[p=1 to m]λ_p(∂g_p/∂x_s) = 0  (s=n-m+1,...,n)
が成立したとします。(ア)から、(イ)の各式にそれぞれλ_pをかけたものを引くと、
(エ)Σ[k=1 to n-m](∂f/∂x_k)dx_k - Σ[p=1 to m]Σ[k=1 to n-m]λ_p(∂g_p/∂x_k)dx_k = 0
この式に含まれる(x_1,...,x_n-m)は独立に変化できるので、
(オ)(∂f/∂x_k) - Σ[p=1 to m]λ_p(∂g_p/∂x_k) = 0  (k=1,..,n-m)

ここで、h(X,Λ)=f(X)-Σ[p=1 to m]λ_p g_p(X)
とおくと、hが極値をとる条件は
(カ)∂h/∂x_k = 0  (k=1, ..., n)
(キ)∂h/∂λ_p = 0  (p=1, ..., m)
この(カ)は、(ウ)と(オ)を合わせたもので、(キ)は元の束縛条件そのものです。したがって、(カ)と(キ)が成り立つようにXとΛを決定すれば、それが最初の問題のXの候補となります。これがラグランジュの未定係数法です。

(参考)
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.html
http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/lagrange.htm

参考URL:http://www.neuro.sfc.keio.ac.jp/~masato/study/SVM/lagrange.htm

n個の変数の組X=(x_1, x_2, ... , x_n)について束縛条件 g_k(X)=0 (k=1,2,...,m)のもとで関数f(X)が極値をとるときのXを求めます。f(X)が極値をとるならば、
(ア)Σ[k=1 to n](∂f/∂x_k)dx_k = 0
(イ)Σ[k=1 to n](∂g_p/∂x_k)dx_k = 0  (p=1,2,...,m)
ここに別のm個の変数の組Λ=(λ_1, λ_2, ..., λ_m)があって、それらが適切な値をとったとき
(ウ)(∂f/∂x_s) - Σ[p=1 to m]λ_p(∂g_p/∂x_s) = 0  (s=n-m+1,...,n)
が成立したとします。(ア)から、(イ)の各式にそれぞれλ_pをかけたものを引くと、
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QExcelで加工の最適解を求めたい

部品加工をしていますが、最適な解の求め方について質問があります。

条件1: 機械は4台あり、それぞれに加工できる部品と1個加工する為の時間が違います。
      詳細は、画像をご覧下さい。
      (「-」は、その機械でその部品の加工ができない事を表します。)

条件2: 最終的に加工しなければならない部品の数は、A~Eとも、おのおの違います。
      (例の場合だけでなく、100~5000程度の間で、日によってバラバラな値です。)

条件3: 部品が変わる場合の設定変更の時間は考慮しなくてかまいません。

条件4: 一つの機械では同時に複数の種類の部品を加工できません。

条件5: 複数の機械で同じ種類の部品を同時に加工できるだけ材料に余裕があります。


Excelを用いて、それぞれの機械が(ほぼ)同じ時間稼働するように、
それぞれの機械でそれぞれの部品を加工する個数を計算させたいのですが、
どのような計算式にすればよいでしょうか。


極力、マクロ、ゴールシーク、ソルバーを使わないでワークシート上の計算式のみで
できるものを教えて頂きたいです。

部品加工をしていますが、最適な解の求め方について質問があります。

条件1: 機械は4台あり、それぞれに加工できる部品と1個加工する為の時間が違います。
      詳細は、画像をご覧下さい。
      (「-」は、その機械でその部品の加工ができない事を表します。)

条件2: 最終的に加工しなければならない部品の数は、A~Eとも、おのおの違います。
      (例の場合だけでなく、100~5000程度の間で、日によってバラバラな値です。)

条件3: 部品が変わる場合の設定変...続きを読む

Aベストアンサー

> 機械No.2では、A・B・Cを同時に加工する事はできないので、

だと、問題の条件を勘違いしていました。
そうなると、ちょっと条件のややこしいナップザック問題になると思います。
この手の問題は、解析的に解くのは難しいのが知られています。

質問の例なら、例えば部品B,Cを作るのは機械No.2だけですからとっかかりはありますが、一般化した場合には厳しいです。

計算式だけって事だと、目標値に収束するような逐次計算をシートの行を使って行うとかでしょうが、ちょっと条件ややこしいので、ちょっとお手上げです。

QLagrangeの未定乗数法

例えば、これは熱力学のところで出てくる式ですが、
     ΣδN_j[ln(V_j/N_j)-1]=0 (※)
に対して、
δN=ΣδN_j=0 (※※)
という制限をつけたときに(※※)に未定乗数λをかけて(※)に加えますよね。
だったら、別にλじゃなくてもなんらかの数字例えば3をかけて加えてもいいんじゃないかと思ってしまうんですが、そうするとあとあと他の条件
         N=ΣN_j
からλを決定する必要が無くなりλ=3に勝手に決まってしまいおかしなことになってしまいます。これなら最初に
(※※)でかける数字によってλの値が一つに決められて何通りもの答えが出てきてしまいます。
 教えて頂きたいのは数学的な部分で何故、(※※)に未定乗数をかけて加えてよくて、何故数字をかけて加えてはいけないのかという理由です。そんなの当たり前だと思われるかも知れませんがよく分からないのでお願いします。

Aベストアンサー

No.4のものです。
> これは分かりました。しかし、これがλの代わりに決まった数をかけて
> はいけないという説明になっているというのが分からないのでよろしく
> お願いします。

h=f-3gの極値を求めるにはどうしますか?
  ∂h/∂x=0
  ∂h/∂y=0
  ∂h/∂z=0
  ・・・
としますよね。でもこれで決まるx、y、z・・・はh=f-3gの極値
を与えてもg=0を満たすとは限りませんね。
ですからこのやり方ではまずいです。
それともこういう意味でしょうか。
λ=3のとき、このやり方がまずいならλのままでもまずいのでは
ということでしょうか。これはつまりこういうことです。
  ∂h/∂x=0
  ∂h/∂y=0
  ∂h/∂z=0
  ・・・
というやり方で、h=f-λgの極値を与えますが、このやり方で
出てくるx、y、z・・・(λの関数)がg=0を満たすように
λを決めておけばいいですね。

Q現場で使う簡単な表計算の最適解は?

市場(いちば)での入札時の現場で、単価と個数を入力して、

単価×個数=小計(円)

合計(円)

をその場で知りたいのです。数字だけでOKで、文字入力は不要です。
罫線は無くても良いですが、単価・個数・小計は数行が見えて、
隠れた行は見ようと思えばスクロールで見えて、
合計は常に見えていてほしいです。
起動に時間がかかったり、操作が複雑なのはダメです。

私が思いつくのは、
1.スマートフォンに簡単な表計算ソフトを入れる(維持費が高そう!)
2.携帯にもそういう機能を持った機種があるかもしれない(現在SoftBankです)
3.高機能電卓を使う(よく知りません)
です。

皆様のご提案をお聞きしたく、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

WillcomのW-ZERO3なら簡単なんですけどね・・・。

まあ、安いアンドロイド携帯(スマホ)にして、
こういうのを入れるのが正解でしょうね。
最近、スマホも旧モデルなら安くなってますし。
http://androme.net/android-application1074.html

Qラグランジュの未定係数

カテ違いではないと思うので質問します。
ラグランジュの未定係数法とは、多変数関数の
極値を求めたい時に利用するものだと思います。
そのとき条件g=C(定数)があれば、f-λg≡f~の極値を求めれば良いということになっていますが、これのメリットが釈然としません。また、偏微分するときもあれば、δをとって変分を考える場合もあり、それの違いも
よく分かりません。

Aベストアンサー

簡単な問題では確かにあまりメリットはありません。

たとえば、x+y=1という直線上で原点に一番近い点を求めるという問題だと、

x+y=1

という拘束条件の下で

f(x,y)=x^2+y^2

を極小にする解を探すことになりますが、

F(x,y)=x^2+y^2 + λ(x+y-1)

という関数を用意してx,yを独立変数として扱う未定定数法も、y=1-xをf(x,y)に代入して

f(x)=x^2+(1-x)^2

の極小を求めてもたいした違いはありません。

しかし、こんなケースはどうでしょう?

これは光学の複屈折の取り扱いで実際に出てくる実例です。
詳しいことを書き出すと長くなるので、意味はわからないかもしれませんが、数式だけ書きます。

複屈折では屈折率楕円体というものがありまして、こういう式であらわされます。

(x/nx)^2+(y/ny)^2+(z/nz)^2=1 (1)

nx,ny,nzは主屈折率というものですが、まあ定数と思ってください。

そして、この楕円体を

a x+b y+c z =0 (2)
(a,b,cは定数)

という平面で切った断面上に出来る楕円の長軸と短軸の方向を求めることを考えます。

この問題は、

(1)、(2)の拘束条件の下に、

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

の極値を求めることになります。

もちろん、上でやったように(1)、(2)からたとえばy,zを消去してxの1変数関数として極値を求めることも可能です。しかし、やる気になるでしょうか?

これに比べれば、ラグランジュの未定定数法のほうがはるかに計算量が少なくて済みます。

>δをとって変分を考える場合もあり

物理では、実際におこる変化とおきない変化を区別して考えます。

再び光学の話を引き合いに出しますが、光学には最小時間の原理というものがありまして、光線が実際に通過する経路はその経路を通過する時間が最小になっているというものです。

n sinθ=n' sinθ' (3)

という屈折の法則はこの最小時間の原理を満足します。しかし、それを証明しようと思ったら、(3)を満たさないような経路も考えて(3)が極小条件であることを示さなければなりません。しかし、(3)以外の経路を光が実際にとおることはなく、それらは(3)が極小であることを証明するための仮想的な経路に過ぎません。

このような仮想的な変化をあらわすときに変分を使います。

力学では、最少時間ではなく最小作用の原理によって経路が決まりますから、屈折よりもだいぶ問題は複雑ですが同様に考えることができます。

簡単な問題では確かにあまりメリットはありません。

たとえば、x+y=1という直線上で原点に一番近い点を求めるという問題だと、

x+y=1

という拘束条件の下で

f(x,y)=x^2+y^2

を極小にする解を探すことになりますが、

F(x,y)=x^2+y^2 + λ(x+y-1)

という関数を用意してx,yを独立変数として扱う未定定数法も、y=1-xをf(x,y)に代入して

f(x)=x^2+(1-x)^2

の極小を求めてもたいした違いはありません。

しかし、こんなケースはどうでしょう?

これは光学の複屈折の取り扱いで実際に出て...続きを読む

Qラグランジュの未定乗数法とKKT条件

minimize:f(x)
subject to:gi(x)<=0 (i=1,…,m)
m=100
という非線形最適化問題があった場合。
ラグランジュも未定乗数法を用いて、
F(x,λ)=f(x)-λg(x)
とし、これをパラメータであるx,λで偏微分することにより最適解がえられるとおもいますが、、
m=100であり、gにはいる制約を選択する必要がある場合はどのように選んだらよいでしょうか。
現在、適当に入れていき最終的にKKT条件を満たした解を最適解としていますがいかがでしょうか。

Aベストアンサー

KKT条件を知っているようですね。
ならば、相補性条件についてはご存知でしょう?
有効制約を選択するのは難しいので、
全ての制約をラグランジュ関数に入れて済ます為に
相補性条件を付加するのです。
その為のKKTです。
m が大きくて計算が手に余るなら、
数式処理ソフトウェアにでも頼るしかありません。

もちろん、考えてエレガントに制約選択ができ、
手計算にかなう個数まで減らせるならば、
紙の上でラグランジュ法を行うことができます。

Q分布定数系の安定解析を始めたいのですが...参考書等

流体を用いた工学的な現象をモデル化して安定解析を行いたいと思っております.
当方,現代・古典制御について一応理解があり,集中線形現象に関しては教科書を
見つつで対処可能だと思っておりますが,分布システムとなると数学的にとっかかりにくく,
入口から難儀しております.

こんな状態ですからぜひ一からきちんとやり直したいと思っております.
分布定数系の安定解析に関して,良き参考書,ウェブ,論文など,或いは重要なポイントなど
ございましたらご教授下さい.

Aベストアンサー

First_Noelさんにアドバイスできる者じゃないんだけど、だめもとであえてやります。役に立たないかも・・その場合は、ごめん!
分布定数系ということですので、知っているとは思いますが、フランスの数学者ローレンッツシュワルツさんの数学(物理数学の方法-岩波:かなり古い。)概念は分布を取り入れた一般化された数学です。日本語の訳(数学者の訳としてはよくできているのです。)は、超関数なんかになっていて物理的意味が不明になっていますが、よくよく観ると「The math of distribution」が本来の概念です。古いですが分布状態の解析に深い深い洞察が見られます。
ということで、なにかの参考になれば。


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