次の関数f(x)のn階微分のx=0における値f^(n)(0)=d^nf(x)/dx^nを求めよ。どうしてそうなのかも説明せよ。
(1)f(x)=e^x
(2)f(x)=sin(x)
(3)f(x)=cos(x)
(4)f(x)=sqrt(1+n)
(5)f(x)=arctan(x)
これをf^n(0)で微分すると(1)1(2)0(3)1(4)1(5)0でよいのでしょうか?
答えも今ひとつ自信はないのですが、これを説明するとするとどうしたらよいのかわかりません。教えてください。
No.4
- 回答日時:
そうですね。
1つ1つ n を増やしながら微分していくのですが、その経過のどこかで規則性を見つけて、こっから先の n は…
と一般化しなければ、永遠に計算し続けるはめになります。
実際に、n = 1, 2, 3, … とやってみると、
(1)(4) は n = 1 まで、
(2)(3) は n = 4 まで( 勘がよければ n = 2 まで ) で
規則性が見つかるようにできています。
(5) は少し難しいですね。
f ' (x) = 1 + { f(x) }^2 から変形して、漸化式でも探すかな。
そのとき、作った漸化式を解く前に、x = 0 を代入して、
f^n(x) ではなく f^n(0) の漸化式を解くようにするのが、
コツと言えばコツかもしれません。
この回答への補足
(4)ですが、f ' (x)でx=0のとき、1/2になるのですが、何が間違っているのでしょうか?
(5)難しいです。f ' (x) = 1 + { f(x) }^2この変形もわからないです。すいません。
No.5
- 回答日時:
(4) は、一回微分すれば、定数関数 0 になるだけです。
(5) は、申し訳ありません。 f(x) = tan x と見間違えました。
f ' (x) = 1 + { f(x) }^2 じゃなく、
f ' (x) = 1/(1 + x^2) ですね。
1 = (1 + x^2)・f ' (x) の両辺を、n - 1 回微分するかな…
この回答への補足
すいません。(4)は入力ミスです。f(x)=√(1+x)です。そうなるとこたえはちがいますよね。1/2になりますが、nが増えるとどうなるといえるのですか?教えてください。
補足日時:2010/06/04 09:03No.6
- 回答日時:
f(x)=Σ_{n=0~∞}f^n(0)x^n/(n!)
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0~∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0~∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0~∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=Π_{k=1~n}((1/2)-k+1)(1+x)^{(1/2)-n}
f^n(0)=Π_{k=1~n}((1/2)-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{n=0~∞}(-x^2)^n=Σ_{n=0~∞}((-1)^n)x^{2n}
f^{2k-1}(0)=((-1)^{k-1})(k-1)!
f^{2k}(0)=0
No.7
- 回答日時:
訂正します。
f(x)=Σ_{n=0~∞}f^n(0)x^n/(n!)
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0~∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0~∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0~∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=Π_{k=1~n}(1/2-k+1)(1+x)^{1/2-n}
f^n(0)=Π_{k=1~n}(1/2-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{k=0~∞}(-x^2)^k=Σ_{k=0~∞}((-1)^k)x^{2k}
n=2k-1のとき
f^n(0)=((-1)^{k-1})((n-1)!)
n=2kのとき
f^n(0)=0
この回答への補足
ありがとうございます。1つ1つみていきます。
f(x)=Σ_{n=0~∞}f^n(0)x^n/(n!)
の解説お願いできませんか?
No.8
- 回答日時:
(4)
f(x) = √(1+x) でしたか。
それなら、最初からそう書いてくれれば。
(1+x)^7 を 2 回微分すると 7・6・(1+x)^5、
3 回微分すると 7・6・5・(1+x)^4 になるように、
(1+x)^(1/2) を n 回微分すれば、
= (1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 2)…(1/2 - (n-1))・(1+x)^(1/2 - n)
= {1・1・3・5・…・(2n-3)}/{2(-2)^(n-1)}・(1+x)^{-(2n+1)/2}
です。
x = 0 を代入して、分子分母に偶数の因子を補えば、
f^n(0) = {1・3・5・…・(2n-3)}/{(-1)^(n-1)・2^n}・1
= {1・2・3・4・5・…・(2n-3)・(2n-2)}/{(-1)^(n-1)・2^n・2・4・…・(2n-2)}
= {1・2・3・4・5・…・(2n-3)・(2n-2)}/{(-1)^(n-1)・2^n・2^(n-1)・1・2・…・(n-1)}
= {(2n-2)!・(-1)^(n-1)}/{(n-1)!・2^(2n-1)}
と書けますね。
No.9ベストアンサー
- 回答日時:
f(x)=Σ_{n=0~∞}(a_n)(x^n)/(n!)=a_0+Σ_{n=1~∞}(a_n)(x^n)/(n!)
ならば
すべての整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
が成り立つことを帰納法で示す。
n=0のとき
f(x)=a_0+Σ_{n=1~∞}(a_n)(x^n)/(n!)
f(0)=a_0
で成立
ある整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
を仮定すると
f^{n+1}(x)=Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^{k-1})/((k-1)!)
=a_{n+1}+Σ_{k=1~∞}(a_{n+1+k})(x^k)/(k!)
f^{n+1}(0)=a_{n+1}
n+1のときも成立するから
すべての整数n≧0に対して
f^n(0)=a_n
が成り立つ
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0~∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0~∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0~∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=(Π_{k=1~n}((1/2)-k+1)(1+x)^{(1/2)-n}
f^n(0)=Π_{k=1~n}((1/2)-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{n=0~∞}(-x^2)^n=Σ_{n=0~∞}((-1)^n)x^{2n}
f^{2k-1}(0)=((-1)^{k-1})(k-1)!
f^{2k}(0)=0
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