
幾何ベクトルの法線と垂線に関する定義が理解できません。
どなたか、教えてください。
点P1(x1,y1)と直線、l:ax+by+c=0を想定する時、P1からlへの垂線の足をP0(x0,y0)と置きます。
直線lの定義により、直線lの法線ベクトルnは(a,b)と置けます。
参考書によると、この時n・p0+c=0とのことですが、ここが理解できません。
法線ベクトルとp0の内積とcがどのような関係性があるのでしょうか。
(例えば、直線lと法線ベクトルの内積が0である、ということなら理解できます。しかし、直線l上のベクトルをどのように式に表せばよいかがわかっていません。例えば、直線上に点P2をおき、(x2,y2)とすると、x2は式lを満たし、かつP2-P0とnの内積が0である、という表現しか思いつきません。)
どなたか、解説をお願いいたします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>.... 法線ベクトルnと直線lの内積を表す式において、ax+by=-cの代入はなぜ可能なのでしょうか?
ここは落ち着いて、
L : ax+by+c=0 …(1)
の導出過程を見直してください。
確かに、法線ベクトル n をスカラー倍したり、直線 L 上のベクトルの起点 Po(xo, yo) をシフトすると、見かけの {a, b, c} は変化します。
直線 L 上のベクトル u (x-xo, y-yo) と、法線ベクトル n (a, b)との直交関係、
u*n = (a, b)*(x-xo, y-yo) = 0
ですから、(1) と両立することは簡単に確かめられます。
No.4
- 回答日時:
オランダ戦「惜敗」のあと。
> L : ax+by+c=0 …(1)
>の導出過程を見直してください。
こんな感じ。
↓
・法線ベクトル n をスカラー倍
(1) の {a, b, c} もスカラー倍
・直線 L 上のベクトルの起点 Po(xo, yo) をシフト
起点ベクトル Po(xo, yo) の法線ベクトル n に対する平行成分は不変だから、(1) のまま。
No.2
- 回答日時:
難しく考えすぎでは?
P0(x0,y0)は直線l上の点なので、ax0+by0+c=0
この式の左辺の第2項までは ベクトル(a,b)とベクトル(x0,y0)の内積になっているので、
n・p0+c=0
幾何学的な意味としては、まず、a,b,cは直線に対して一意に決まらない(全体を定数倍しても同じ)ので、ベクトル(a,b)を単位ベクトルにするために全体を√(a^2+b^2)で割っておく。cはc/√(a^2+b^2)になる。
内積n・p0は、nが単位ベクトルになったので、ベクトルp0の、ベクトルnへの正射影になる。つまり、原点から直線lまでの距離に等しい。
一方、任意の点(α、β)から直線ax+by+c=0までの距離は
|aα+bβ+c|/√(a^2+b^2)
なので、原点からの距離は|c|/√(a^2+b^2)で、√(a^2+b^2)=1にしたので、これは内積n・p0に一致。
符号が気になるけど、オランダ戦も気になるのでここで失礼します。
No.1
- 回答日時:
直線 L 上のベクトルは、(x-xo, y-yo) と表せますね。
法線ベクトル n (a,b) との内積は、
a(x-xo) + b(y-yo) = 0
になるはず。
そして、
a(x-xo) + b(y-yo) = ax+by - (axo+byo) = -c - n*p0 = 0
つまり、c + n*p0 = 0 .
この回答への補足
直線上において、ax+by=-cが成り立つのは理解できます。
しかし、法線ベクトルnと直線lの内積を表す式において、ax+by=-cの代入はなぜ可能なのでしょうか?
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