微分の仕方

y=a^xを微分する。
y=a^xの両辺の自然対数をとるとlogy=loga^x
この両辺をｘの関数と見て微分すると
1/y*dy/dx=loga

なぜ、最後あのような式になるのでしょうか？
右辺＝xloga
をｘで微分すると、logaになるのはわかったのですが、左辺の変形がよくわかりません。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/11 21:24

yyama19さん、こんばんは。

お二人から分かりやすい説明が出ていますが、

logyのｘでの微分が分かりにくいんですよね。

logy=u
とおいてみましょう。

求めたいのは、uをxで微分したもの。du/dxです。

ところで、今u=f(y)←ｙについての関数になっている
合成関数の微分の公式
du/dx=(du/dy)*(dy/dx)
を使えばいいです。

また、
u=logy
をｙで微分したものは、
du/dy=1/y
ですね。

ですから、
du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*(dy/dx)

となるので、
(1/y)*(dy/dx)=loga

という式が出てきます。
ご参考になればうれしいです。
微分はややこしいですが、頑張ってください。

この回答への補足

※みなさま、お礼がおくれてしまってごめんなさいです。

補足日時：2003/07/17 22:23

この回答へのお礼

いつも、どうもありがとうございます。

詳しくて、わかりやすくて助かりました。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2003/07/17 22:23

No.2 回答者： noname#5537 回答日時： 2003/07/11 18:26

log y　というのは y の関数です。

で、y は x の関数になっています。

ということは、log y を xで微分しようと思ったら、
合成関数の微分の公式を使えばいいわけですね。

つまり、
まず log y を y で微分すると、
　1/y
です。
これに、y を x で微分したもの(dy/dx)を掛ければよいのですから、
　1/y * dy/dx
となります。

この回答へのお礼

参考にさせていただきます。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2003/07/17 22:22

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2003/07/11 18:26

1種の合成微分です。

u=g(x)　のとき、f(u)のｘによる微分は

df(u)/dx = (df/du)(du/dx)
という公式があります。
f(y)=logy で、yを上記公式でu と考えると

f'(y)= 1/y ですから　1/y*dy/dx　となります。

※log の底は e ですよね？

この回答へのお礼

はい、低はeでした。

わかりやすく、どうもありがとうございました。

お礼日時：2003/07/17 22:21