統計学の確率密度関数について

ＸがP.D.F.
　　　　　ｆ(x)=　3(1-x)^2 　　　　0 < x < 1
　　　　　f(x)= 　 0 　　　　 　　　その他

をもつときのＹ＝(１－Ｘ)^2のP.D.F.fY(y)を求めたいんですが、何度計算してもありえない数字になってしまいます・・・。どなたかおしえてください！！
お願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/15 13:18

δ関数を知らなければ意味がないので躊躇したが

δ関数を使う方が簡単なので一応書いときます。
ｈ（ｘ）はヘビサイド（単位ステップ）関数。

改めてＹの分布関数をＧ（ｙ）、Ｙの密度関数をｇ（ｙ）と置く。
Ｇ（ｙ）
＝∫（－∞，∞）ｆ（ｘ）ｈ（ｙ－（ｘ－１）＾２）ｄｘ
両辺をｙで微分すると
ｇ（ｙ）
＝∫（－∞，∞）ｆ（ｘ）δ（ｙ－（ｘ－１）＾２）ｄｘ
（ｔ＝ｘ－１の変数変換）
＝∫（－∞，∞）ｆ（ｔ＋１）δ（ｙ－ｔ＾２）ｄｔ
（積分範囲を分割）
＝∫（－∞，０）ｆ（ｔ＋１）δ（ｙ－ｔ＾２）ｄｔ
＋∫（０，∞）ｆ（ｔ＋１）δ（ｙ－ｔ＾２）ｄｔ
（前項をｓ＝－ｔと変数変換した後ｔ＝ｓと変数変換）
＝∫（０，∞）（ｆ（１－ｔ）＋ｆ（１＋ｔ））δ（ｙ－ｔ＾２）ｄｔ
ｙ＜０のときにはδ（ｙ－ｔ＾２）＝０だからｇ（ｙ）＝０
０＜ｙのときには√（ｓ）＝ｔと変数変換して
ｇ（ｙ）
＝∫（０，∞）（ｆ（１－√（ｓ））＋ｆ（１＋√（ｓ）））δ（ｙ－ｓ）ｄｓ／２／√（ｓ）
＝（ｆ（１－√（ｙ））＋ｆ（１＋√（ｙ））／２／√（ｙ）
＝ｆ（１－√（ｙ））／２／√（ｙ）
関数を代入すると１と同じ結果がでる。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2003/07/16 22:28

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2003/07/14 03:33

Ｙの分布関数をＦ（ｙ）とすると

Ｆ（ｙ）＝∫（（ｘ－１）＾２＜ｙ）ｆ（ｘ）ｄｘ
であるからこれを解けばよい。
ｙ≦０のときにはＦ（ｙ）＝０は明らか。
０＜ｙのときには
Ｆ（ｙ）＝∫（１－√（ｙ）＜ｘ＜１＋√（ｙ））ｆ（ｘ）ｄｘ
である。
０＜ｙ＜１のときには
Ｆ（ｙ）＝∫（１－√（ｙ）＜ｘ＜１）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝ｙ＾（３／２）
１＜ｙのときには
Ｆ（ｙ）＝∫（０＜ｘ＜１）ｆ（ｘ）ｄｘ＝１
Ｙの密度関数はＦ（ｙ）を微分すればよい。
δ関数で求めることもできる。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2003/07/16 22:28