最小二乗法のn次曲線について
Pn(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+……+a1x+a0
の時、最小二乗誤差E2は、
E2=Σ(i=1,m)(yi-Pn(xi))^2
=Σ(i=1,m)yi^2-2Σ(i=1,m)Pn(xi)yi+Σ(i=1,m)(Pn(xi))^2
=Σ(i=1,m)yi^2-2Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j)yi+Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j)^2
ここまではわかるんですが、次の式になる理由が分りません。
E2=Σ(i=1,m)yi^2-2Σ(j=0,n)aj(Σ(i=1,m)yixi^j)+Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
一番後ろの項Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))はどうやったらでてくるんでしょうか?
なんでいきなりkがでてくるんでしょうか?
jとiの組を2乗してるんだからkというのがでてくるのは変だとおもうんですが、どういう考え方なんでしょうか?
No.1
- 回答日時:
Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
は間違い。
Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
か、まかは、
Σ(j=0,n)Σ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
です。
Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j)^2
=Σ(i=1,m)((Σ(j=0,n)ajxi^j)(Σ(k=0,n)akxi^k))
=Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j(Σ(k=0,n)akxi^k)))
=Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)Σ(k=0,n)ajakxi^(j+k))
=Σ(j=0,n)Σ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>なんでいきなりkがでてくるんでしょうか?
(Σi xi)^2の手の和の二乗を計算するときの常套手段です。
(Σi xi)^2=(Σi xi)(Σk xk)
のように二乗するときには和の添え字を買えて掛け算にします。
たとえば、i=1,2とすると
(Σi xi)^2=(x1+x2)(x1+x2)=x1(x1+x2)+x2(x1+x2)
=x1(Σi xi)+x2(Σi xi)=(x1+x2)(Σi xi)
ここで最後の(x1+x2)を和の記号を遣って書くときに、
後ろと同じ添え字iを使ってしまうと混乱するので、添え字を変えるわけです。
同じように、積分の二乗を計算するときには積分変数を変えます。
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