対称性を利用した問題
x,y,z<0 でx+y+z<-3 およびx^2+y^2+z^2+2xyz=1を満たす時
(x+1)(y+1)(z+1)≦0 であることを示せ。
解答ではx+1=a, y+1=b, z+1=cと置き替えて解いています。
しかし私はこの置き換えに気付かなかったので、この置き換えをせずに何とか解けないかと考えているのですが、行き詰っています。
どなたか分かる方、教えて頂けないでしょうか?
よろしくお願いします。
以下私の途中までの方法です。
x+y+z=s , xy+yz+zx=t, xyz=u とすると
s<-3 , s^2-2t+2u=1 で、示すべきは、s+t+u+1≦0
tを消去すると、s^2/2+2u+1/2≦0 が示すべき式
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x+y+z<-3 は x+y+z≦-3 のミスじゃないだろうか?
(x+1)(y+1)(z+1)≦0 から、x、y、zのうちで少なくても1個は-1になる。
従って、x=y=z=-1 でも成立するから、x+y+z≦-3 である。
文字は全て実数とする。
x+y+z=a , xy+yz+zx=b, xyz=cとすると、a≦-3、b>0、c<0 ‥‥(1)
x^2+y^2+z^2+2xyz=1 から a^2-2b+2c=1 ‥‥(2)
シュワルツの不等式から 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 → 3b≦a^2 ‥‥(3)
2P=2(x+1)(y+1)(z+1)=2(1+a+b+c)=4b+2a-a^2+3となる。‥‥(4)
そこで、2c=1-a^2+2b<0と(1)と(3)をab平面上に図示すると、a≦-3、b>0で3b≦a^2 の部分。
(4)は 4b=(a-1)^2+(P-4)から放物線。
これは、点(-3、3)を通るときにPは最大値をとるが、その時 最大値は0.
従って、P≦0. 等号は a=-3、b=1、c=-1 つまり x=y=z=-1の時。
ご回答どうもありがとうございます。
>シュワルツの不等式から 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 → 3b≦a^2 ‥‥(3)
これは全然気づきませんでした…。
このような絶対不等式の利用は初めてです。
とても勉強になりました。
どうもありがとうございました。
>x+y+z<-3 は x+y+z≦-3 のミスじゃないだろうか?
こちらの件ですが、今確認してみましたら間違いはなかったです。
等号なしの「x+y+z<-3」でした。
No.1
- 回答日時:
一般的にはあなたの途中式から解くが、少し変わった証明をするよ。
(x+1)(y+1)(z+1)≦0 ということは (x+1)(y+1)(z+1)>0を満たす(x,y,z)が存在しないことと同値
つまり(x+1)(y+1)(z+1)>0・・・(*)
を満たす(x,y,z)が存在すると仮定しよう。
(*)を満たす(x,y,z)の組み合わせとして
x,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0 のみ。
(1) -1<x,y,z<0のとき
x+y+z<-3から矛盾
(2) x,y<-1 -1<z<0のとき
x+y+z<-3となる(x,y,z)は存在するが
x^2+y^2+z^2+2xyz=1について考えてみる。
今x,y<-1とすると
z^2+2xyz+y^2<0・・・・・(*)(*)
が成立する。
ここで(*)(*)が満足するようなzが-1<z<0であればよいが
f(z)=z^2+2xyz+y^2とおいて f(z)のグラフからf(0)=y^2>0 f(-1)=1+2xy+y^2>0
軸はf(z)=z^2+2xyz+y^2=(z+xy)^2+y^2(1-x^2)から
z=-xy<-1 がいえるので (*)(*)が満足するようなzが-1<z<0にあることに矛盾
以上からx,y<-1 -1<z<0 と -1<x,y,z<0とはならない
ゆえに(*)が成立することに反し、(x+1)(y+1)(z+1)≦0
ご回答どうもありがとうございます。
背理法を使うのですね。
そして背理法に気付いたとしても
>(2) x,y<-1 -1<z<0のとき
の扱いも難しいですね。
素晴らしい解答をどうもありがとうございました。
大変勉強になりました。
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