No.2ベストアンサー
- 回答日時:
円錐の母線の長さが一定として、体積の最大となるときの円錐の展開図の中心角を求めたいのでしょうか。
母線の長さを1、中心角をxとすると、円弧の長さはx、
それを円にしたときの半径rは、
2πr=x より、r=x/(2π)
底面積Sは、S=πr^2=x^2/(4π)
円錐の高さhは、三平方の定理より、
h=√(1-r^2)=√(1-x^2/(2π)^2)=√(4π^2-x^2)/(2π)
体積Vは、
V=Sh/3={x^2/(4π)}*{√(4π^2-x^2)/(2π)}/3
=x^2*√(4π^2-x^2)/(24π^2)
体積が最大になるのは、dV/dx=0のときなので、
dV/dx=2x*√(4π^2-x^2)/(24π^2)-x^3/{(24π^2)√(4π^2-x^2)}
=x(8π^2-3x^2)/{(24π^2)√(4π^2-x^2)}=0
より、
x=(2√6/3)π≒293.939度
サイトは分かりませんが、角と体積の関係式は、
V=x^2*√(4π^2-x^2)/(24π^2)
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