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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
stripeさん、こんにちは。
これは、難しいですねえ!
>自然数nについて、a[n]を√nの整数部分とする時、
(1)自然数lについて、a[n]=lとなるnの個数をlを用いて表せ
えっと、まず、問題の意味を考えてみましょう。
たとえば、
√3≒1.732・・
ですから、a[3]=1
ということになるんですね。√3の整数部分は1になるので。
さて、この前提のもとで、考えると、
a[n]=l(l:整数)とすると、
l≦a[n]<l+1・・・(☆)
となっていることは、いいかと思います。
さきほどの例ですと、
1≦√3<2
ということですね。これは成り立ちますね。
(☆)は、
l≦√n<l+1
ですから、l>0であることを考えれば、両辺2乗していいです。
l^2≦n<(l+1)^2=l^2+2l+1
となりますね。
そのような、nは何個ありますか?
l^2,l^2+1,・・・,l^2+2l
までの、(2l+1)個ですね。
>(2)tを二以上の自然数とするときΣ(k=1~t^2-1まで)a[k]をtを用いて表せ
これは、tのイメージが分かりにくいかと思います。
そういうときは、まず具体的に考えましょう。
√1=1
√2=1・42・・・
√3=1.732・・
√4=2
√5=2.236・・
√6=2.449・・
√7=2.645・・
√8=2.828・・
√9=3
√10=3.16・・
√11=3.31・・
√12=3.46・・
√13=3・60・・
√14=3.74・・
√15=3.872・・
√16=4
・・・
となっていきますね。(電卓で計算しました)
すると、見てください。
整数部分が1となるものは、√1、√2、√3の3個です。
整数部分が2となるものは、√4、√5、√6、√7、√8の5個です。
整数部分が3となるものは、√9~√15までの7個です。
これは、(1)で求めたように、
整数部分が(t-1)となるのは、(2t-1)個です。
整数部分がtとなるのは、(2t+1)個ある、ということですね。
さて、最初から数えると、何個なのか??は、
3個+5個+7個+・・+(2t-1)個
=Σ[k=1 to t-1](2k+1)
=Σ2k+Σ1=t(t-1)+(t-1)=(t-1)(t+1)=t^2-1
となります。
つまり、
>Σ(k=1~t^2-1まで)a[k]
↑
ここの、t^2-1というのは、最初から数えて、t-1群になる、ということですね。
(a[n]=t-1となるようなグループ)
a[1]グループの和は、1+1+1=3
a[2]グループの和は、2+2+2+2+2=10
・・・
a[t-1]グループの和は、(t-1)+・・+(t-1)=(t-1)(2t-1)
2t-1個の和
となることから、考えていけばいいと思います。
頑張ってみてください。
どうもありがとうございます!
最後のところは、
>=Σ[k=1 to t-1](2k+1)
の式を使うと、
=Σ[k=1 to t-1](2k+1)×k
として計算すればよいのでしょうか。
わかるのにけっこう時間がかかりましたが、だいたいのところはわかりました!
だいたいはわかったのですが、
どうやって、
>ここの、t^2-1というのは、最初から数えて、t-1群になる、ということですね。
(a[n]=t-1となるようなグループ)
という関係に気付いたのでしょうか?
説明していただいたような関係になることはわかったのですが、
もし自分がこの問題をやっていたら、たぶんt^2-1にしか目がいかなくて、問題文にも直接はでてこないt-1にはまったく気付けないなと思ったんです(^^;
どこをみて気付く事ができるのか教えて頂けたらうれしいです。
※
>3個+5個+7個+・・+(2t-1)個
細かいですがここのところの一般項は2t+1ですね(^^;
(後の計算は直ってるので平気でした(^^;
No.5
- 回答日時:
皆さんの解答からだいたいのイメージが出来ますね。
n=k^2-1とk^2のところが境目になるんです。
n=1,2,3(=2^2-1)のときa[n]=1
n=4(=2^2),5,6,7,8(=3^2-1)のときa[n]=2
n=9(=3^2),10,・・・・,15(=4^2-1)のときa[n]=3
といった具合です。
だからt^2-1のところではa[n]=t-1になっています。
(a[n]=tじゃない)
というわけで
(2)はΣ(l=1からt-1まで)l*(2l+1)
どうもありがとうございます!
締め切ってる作業中にこの回答が届いたようです。
テレビ見ながら締め切ってたのがよかったです。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
stripeさん、こんばんは。
今日は1日出ておりまして、お礼のところ今拝見しました。
遅くなってすみません。
さて、
>どうやって、
>ここの、t^2-1というのは、最初から数えて、t-1群になる、ということですね。
(a[n]=t-1となるようなグループ)
>という関係に気付いたのでしょうか?
それはですね、私もstripeさんと同じで、最初、
Σ(k=1 to t^2-1)
と書いてあるのに、「t^2-1って?」と思うわけです。
それで、何か規則性があるのかな、と疑うわけですね。
そして、(1)がヒントになっています。
a[n]=lとなるようなnは、いくつあるのか??から、
まず、#3で書きましたように、√1、√2・・
と入れていって、大体予測できますよね。
√n=1となるようなnは、3個あるな。
√n=2となるようなnは、5個あるな。
・・・
√n=kとなるようなnは、(2k+1)個ありそうだな、と予想します。
それから、(1)で考えたような不等式から、
a[n]=lとなるようなnは、(2l+1)個ある、と結論づけます。
>>3個+5個+7個+・・+(2t-1)個
>細かいですがここのところの一般項は2t+1ですね(^^;
いえいえ、一般項というか、第t群は、(2t+1)個ありますから、
t群までの個数を足せば、
3+5+・・+(2t+1)
となるのですが、今は、第(t-1)群までの個数の和を考えているのです。
(実は、そうしないと、t^2-1という数が出てこないからです)
これは、初項3、公差2の等差数列の和になっていますが、
第t群までの和は、
{3+(2t+1)}t/2=t(t+2)
となります。
第(t-1)群までの和は、
{3+(2t-1)}(t-1)/2=(t+1)(t-1)=t^2-1
となって、Σの中の、k=1 to (t^2-1)
という、(t^2-1)という数字が出てくるのです。
これにあわすために、(t-1)群までの和を考えているんですね。
>もし自分がこの問題をやっていたら、たぶんt^2-1にしか目がいかなくて、問題文にも直接はでてこないt-1にはまったく気付けないなと思ったんです(^^;
どこをみて気付く事ができるのか教えて頂けたらうれしいです。
そうなんですよね。このt^2-1という数字がクセモノです。
最初は気付かないんですが、色々やっていくうちに、
ははあ、なるほど、これは群数列になってるじゃないか、ということに
気がついていく、という感じなんですね。
だから、最初からピン!とこなくても、悲観することは全然ないのです。
stripeさんは、これを読んでかなり、なるほど~と思われていらっしゃるようですので
一度、ヒントをもとに自分で解いてみてくださいね。
それで、解ければ、次回、同じような傾向の問題が出されたときには、
「もしかして、あれを使うのかな・・」
のようにひらめくことが出来ると思います。
頑張ってくださいね!!
補足して頂いてありがとうございますm(__)m
おそくなったのなんのなんてぜんぜん気にしないで下さい!
>となるのですが、今は、第(t-1)群までの個数の和を考えているのです。
そーだったんですね!ごめんなさい、僕が勘違いしました(^^;
いろいろ予測して、問題を解いていってるんですね。
ぼくは頭が堅くていろんなことにきづかないことが多いんですが、がんばってみます。
ありがとうございましたm(__)m
No.1
- 回答日時:
ヒントだけ
(1)
a[n]=lとなることは
l^2≦n^2<(l+1)^2
と同値です。これを満たすnの数をlを用いて表しましょう。
(2)
a[1]~a[t^2-1]を具体的に並べると
1,1,1,2,2,2,2,2,3,・・・,t-1,t-1,t-1,t-1,t-1,t-1
となり、この次の項a[t^2]=tだから、
(1)の答えをf(l)とすると、
1はf(1)個、2はf(2)個、・・・,t-1はf(t-1)個となります。
f(1)個の1とf(2)個の2と・・・f(t-1)個のt-1の和を求めればいい事になります。
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