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A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
>但し、0≦X≦πとする。
この X の範囲の意味が次のどれですか?
(1)
Y=sin^2(X) 但し、0≦X≦π
グラフのx座標の範囲なのか?
(2)
2本の接線の接点Q,RのX座標が0≦X≦πに入るものなのか?
(3)
交点P(X,Y)のX座標が0≦X≦πに入るものなのか?
Y'=2sinXcosX=sin(2X)なので2本の接線の傾きm,nは
-1≦m,n≦1かつ直交条件からmn=-1なので
m=-1,n=1またはm=1,n=-1
(1),(2)の場合は
2接線は
y=x-π/4+1/2,y=-(x-3π/4)+1/2
接点はQ(π/4,1/2),R(3π/4,1/2)で交点はP(π/2,π/4+1/2)
(3)の場合は
交点Pはnをn=0,±1,±2,…として
(0,1/2-π/4±nπ),(π/2,1/4-π/8±nπ/2),(π,1/2-π/4±nπ)
となります。この場合の接線や交点Pや接点QとRの座標は図を下さい。
No.1
- 回答日時:
2つの接点の座標を(a,sin^2(a)),(b,sin^2(b))と置きますと、2本の接線は
y=x sin(2a)+sin^2(a)-a sin(2a)
y=x sin(2b)+sin^2(b)-b sin(2b)
ただし、0≦a<b≦π
となります。
この2本の接線は直交しますので、傾きの積が-1になることから
sin(2a) sin(2b)=-1 ・・・(1)
となります。
ところで、-1≦sin(2a),sin(2b)≦1 ですので、式(1)を満たすaとbは次のように求められます。
(sin(2a),sin(2b))=(±1,干1) (複号同順)
∴(a,b)=(π/4,3π/4)
この(a,b)の値を2つの接線の方程式に代入しますと、
y=x+1/2-π/4
y=-x+1/2+3π/4
となりますので、ここから交点 P(π/2,π/4+1/2) が得られます。
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