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フーリエ級数解析によって位相差から時間差を求めたい。

異なる時間に発生する2つの信号S1,S2に対して,各々,フーリエ級数解析を行い,求められる各々の三角級数の位相差を時間差として求めたいと考えています。

フーリエ係数をAn,Bnとすると,各々の位相P1,P2は
P1=atan(Bn1/An1)
P2=atan(Bn2/An2)
で求められると思います。

よって,位相差は,
|P1-P2|
で求められ,この位相差は角速度ラジアンで与えれるために時間(秒)に変換する必要があると解釈しています。
(今回は2πを3.2秒とする。)

したがって,時間差は,
time(秒)=(3.2*|P1-P2|)/2π
で求められる。。。

と解釈しているのですが,理論値とは全く異なる値が求まります。

何が,いけないのかがわからずにおります。

詳細,ご教授いただければ,嬉しく思います。

よろしくお願いいたします。

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A 回答 (6件)

#5です。

少しどうして別の方式を考えたかについて追記します。

>任意の距離間にある検出器で,その上を任意の速度で走る微小物体を信号としてどれだけ正確に捉えることができるかについて検証しています

あと少し実験の詳細イメージが分からないので誤った考え方をしているかも知れませんが、その場合はすみません。
主として周期信号の解析に使用されるフーリエ級数解析よりも、相関信号解析の考え方が適しているのではと考えたわけです。

先ず信号のサンプリング周期を十分上げることが必要だと考えられます。
サンプリング周期と共に、一定周期の元パルス信号列を対象としているのであれば、複数個の元パルス信号が含まれるように測定します。

その上で必要であれば2個のサンプル信号列の波形が略同じピーク値、信号強度となるように一方の信号列に一定の係数を掛けます。
次に2個のサンプル信号列をkだけずらしながらその内積和:Skを求めます。
特定のSkの値が十分他と比べて大きいものがあり、時間分解能も十分であればそれで解析は終わりです。
Skがなだらかなピーク状を示せば、ピーク前後の3-5個程度のデータを取り、最小二乗法等を使って仮想ピーク点を求め、それから時間差を計算すれば良いのではと考えられます。
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"信号 時間差 相関係数" としてサーチしてみました。



その中に次のような情報がありましたが、参考になりそうなので検討されたらいかがですか。

http://www.kochi-tech.ac.jp/library/ron/2007/200 …
音の到着時間差を用いた音源空間推定
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> An,Bn に負の値が出てきた際には,単純に絶対値として扱っても構わないのか



んなの、良いわけがないでしょう!
式中の変数に値を代入するときに、勝手に絶対値を取ってから代入したら、
式の値は変わります。フーリエ級数とか、この質問に限った話ではない。
数学以前の問題です。


> 今回の質問の内容は実験系の話で

実験値であれば、測定誤差も含むし、実験系固有の系統的誤差も含みます。
No.2 の式が、全ての n で正確に成り立つわけではない。
どの n を使ったら、よい δ が求まるか?という問題が派生しますね。

どのような系統誤差が入るかは、実験系の具体的な内容を考察するか、
実際の測定値を統計処理して検討することもできるかと思います。
測定誤差は、高周波のノイズとして現われるはずですから、
補足のように、もとのデータがパルス信号の場合には、S/N 比によっては、
データとの切り分けが難しいこともあるかもしれません。
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この回答へのお礼

再度にわたる,ご回答を頂き,ありがとうございます。

An,Bnに関してはきちんと極座標上で考え,計算をしてみます。


他の方からのご回答では「実験系」であれば「フーリエ級数解析」ではなく「離散フーリエ変換」を適応させなくてはならないとご指摘的を頂きました。

私が無知なために,大変に迷走をしております。


> 実験値であれば、測定誤差も含むし、実験系固有の系統的誤差も含みます

ご指摘の通りです。

今回の実験は,基礎的な検討ですので,0.1秒間隔のサンプリング各々の検出器で1周期(3.2秒)中にパルス様信号が1つだけ入ります。
得られたデータは全てExcel上で扱うために,サンプリングデータ数は2のべき乗の32個としています。


> どの n を使ったら、よい δ が求まるか?という問題が派生しますね。

この点は,個人的にも検討課題でおります。

これまで,フーリエ級数解析によって得られたS1とS2の1次波における三角級数の基線の値を基に,Excelのソルバーを利用し,2つの信号の位相差,すなわち時間差を求めておりました。これらの結果は,理論値に近い値が得られていたために手応えを感じております。

教科書には「nが大きいほど,早い値の変化を表すことになる」と記載されており,高速信号の検出精度に影響するものを予想をしております。


しかし,ここに至ってもなお,スマートな計算での位相差を出せていないのが現状です。。。

お礼日時:2010/10/25 18:48

実験系なら級数展開じゃなくてDFTですね。



それじゃその方法は多分だめです。

観測する波が分からない状態で、ただ切りとってDFTをしただけでは
単純な式では位相差は出せません。

上記の式で位相が測れるのは観測対象の周波数が切りとった窓の長さできれいに切りとれる場合だけです。
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この回答へのお礼

ご指摘,誠にありがとうございます。

教えて頂いたに関わらず,私が無知なために迷走をしております。

様々な教科書などを参考にしながら,検出器の応答データに対しExcel上でFFTをし,そこからフーリエ級数の定義式に基づき,An,Bnを求めて三角級数を描いておりました。

この方法は「誤った方法」ということになるんですね。。。困りました。

これまで,フーリエ級数解析によって得られたS1とS2の1次波における三角級数の基線の値を基に,Excelのソルバーを利用し,2つの信号の位相差,すなわち時間差を求めておりました。これらの結果は,理論値に近い値が得られていたために手応えを感じておりました。

離散フーリエ変換について勉強をし,再度,考え直してみます。

様々,ご対応頂き,本当にありがとうございます。

お礼日時:2010/10/25 18:24

S1 と S2 が、同じ信号の時刻をズラしたものであれば、


時差 δ と、S1, S2 のフーリエ係数 An1, Bn1, An2, Bn2 の間に、
An2 - i Bn2 = (An1 - i Bn1)(cos nδ + i sin nδ)
という関係が成立しているハズです。
これが、各 n について成立していなければ、
S2 は、S1 の時刻をズラしたものではありません。

上記の式が成立していれば、cos nδ と sin nδ についての
連立一次方程式を解いて、
cos nδ = (An1 An2 - Bn1 Bn2) / (An1 An2 + Bn1 Bn2)
からでも、
sin nδ = (An2 Bn1 + An1 Bn2) / (An1 An2 + Bn1 Bn2)
からでも、
tan nδ = (An2 Bn1 + An1 Bn2) / (An1 An2 - Bn1 Bn2)
からでも、δ を求めることができます。
n は、どの自然数を使っても同じことです。
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この回答へのお礼

ご回答頂き,誠にありがとうございます。

今回の質問の内容は実験系の話で,任意の距離間にある検出器で,その上を任意の速度で走る微小物体を信号としてどれだけ正確に捉えることができるかについて検証しています。検出器で拾う信号にはボケ成分も含まれるために,フーリエ級数解析を採用しました。

これから,alice_44さんから教えて頂いた方法で検証をしてみようと思いますが,一つだけ改めて質問をさせてください。

An,Bnに負の値が出てきた際には,単純に絶対値として扱っても構わないのか,それとも極座標上できちんと考える必要があるのかを教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2010/10/24 15:55

周期が3.2秒ならそれでいいと思います。



式的には 3.2(|P1-P2|/2π) の方が見ためいい気がしますけど。

そもそも、級数展開を求めるような式を相手にしてるのですか?
そうだとすると、1周期以上ずれた場合は正解は求まらないですね。

そうではなくて実は窓かけしてフーリエ変換してるとかならそもそもこの考え方はきびしいです。

ちょっと問題を見ないとなんとも言えませんが、問題を捉え切れてない気がします。
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この回答へのお礼

ご回答頂き,ありがとうございます。

今回の質問は実験系の話で,周期3.2secのなかに必ず2つの信号が入力されます。

ご指摘の通り,私自身,不慣れなためフーリエ級数解析自体を捉え切れていない感は否めません。

これまでは,フーリエ級数解析によって得られる1次波における各々の三角級数の基線を求め,その基線の値をexcelで計算をして時間差を求めていましたが,あまりにもスマートではないので,計算で求めたいと考えました。


k_kotaさんによるご回答では,私の考え方に誤りは無さそうな感がします。

他の方のご回答も参考にして,悩んでみます。

お礼日時:2010/10/24 15:40

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そこで10周期以上取り込んだ後に、フーリエ変換すると良いというヒントは得られたのですが、その方法がいまいち分かりません。どなたか、フーリエ変換の式と位相差の求め方をご教授下さい。

Aベストアンサー

 こんにちわ。

 信号の角周波数は既知なので、これをω0とします。今、発振器の信号が
 a(t) = A cos(ω0t + θa)
であるとすれば、角周波数ω0でのみフーリエ変換すれば良いので、
 Xa = (1/T)∫(0~T) a(t)exp(-jω0t) dt (ただし、T=2π/ω0)
となり、Xa は複素数なので
 arg(Xa) = θa
になります。同様に、試料を通った後の信号を
 b(t) = B cos(ω0t + θb)
とすれば、
 Xb = (1/T)∫(0~T) b(t)exp(-jω0t) dt
となり
 arg(Xb) = θb
になります。従って、位相差は
 θa - θb = arg(Xa) - arg(Xb)
で求まります。

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 こんにちわ。

 信号の角周波数は既知なので、これをω0とします。今、発振器の信号が
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であるとすれば、角周波数ω0でのみフーリエ変換すれば良いので、
 Xa = (1/T)∫(0~T) a(t)exp(-jω0t) dt (ただし、T=2π/ω0)
となり、Xa は複素数なので
 arg(Xa) = θa
になります。同様に、試料を通った後の信号を
 b(t) = B cos(ω0t + θb)
とすれば、
 Xb = (1/T)∫(0~T) b(t)exp(-jω0t) dt
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ただ、スペクトルの図をみて何がわかるのかがよくわかりません。

例えば、ある関数を微分して導関数の図を描くとするじゃないですか。
すると導関数の値が正になってれば元の関数は傾きが正とか、
つまり導関数の図を見て読み取れることがありますよね。
同様にスペクトルの図を描けば、描いた以上元の信号について読み取れることがあるはずですよね。
それが何なのかよくわかりません。
イメージとしては↓のURLをご参照ください。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap2/index.htm

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>フーリエ変換の計算方法もわかります。フーリエ級数展開もできます。
>ただ、スペクトルの図をみて何がわかるのかがよくわかりません。

フリーエの原理そのものだよ。「任意の周期関数は、正弦波の和で表される」ということ。時間軸の波形を周波数軸のスペクトラムにフーリエ変換すると、時間軸上の波形に、周波数ωの正弦波がA1の振幅で、周波数2ωの正弦波がA2の振幅で、...、周波数nωの正弦波がAnの振幅で含まれていることがわかる。

http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5988-6765JA.pdf
の6ページを参照。

数学のみではなく、実際のアプリケーションにも目を向けると世界が広がるよ。

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タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
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逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
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のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
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どうでしょう、わかりましたか?

Qエクセルにおける、グラフの指数表示に関して

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エクセルでのシグマ計算はどうすればよいのでしょうか?また,エクセルで不可能な場合,フリーソフトでシグマ計算ができるものはあるのでしょうか?

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マクロは初心者ですが、下記のようにマクロを書きますと、a1セルに、1から100までの平方の和が出ます。数列の式を目的のものに書き換えると、様々な数列の和が計算されます。



Sub test()
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For i = 1 To 100  '1から100までの数列の和
s = s + i ^ 2  '数列の式
Next
Range("a1") = s   'a1セルに合計sを書き込む

End Sub

Q二つのデータの波形が似てるかどうかの判定方法

以前、物理学の方で質問させて頂いたのですが、教えて頂いた方法で上手くできなかった為、こちらの方で再質問させていただきます。


波形解析について初心者の為、分かりづらいかもしれませんが宜しくお願い致します。

例えば、Excel等で単位の異なる二系列の折れ線グラフを描画したとします。

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解析ツール等を使うという方法ではなく、具体的な計算方法を教えて頂きたいのです。

二つの波形間を積分して、その面積を求めれば良いのか、フーリエ解析をすれば良いのか。。。等など通常はどのように解析しているのか、考えても良く分かりません。

どうぞ宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

二つのデータに関係性があるかどうかという指標として、統計で用いる相関係数というものがあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0

二つの波形の時間ごとのデータをそれぞれ
  A[i] = A[1],A[2],A[3],...,A[n]
  B[i] = B[1],B[2],B[3],...,B[n]
としましょう。

もしもA,Bがまったく同じデータであれば
すなわちA[i]=B[i]ならば
その相関係数Sは1になります。

 A[i]大→B[i]大 , A[i]小→B[i]小
といった関係が強いほど相関係数は1に近づき、そのような関係がないとき相関係数は0に近づくので、二つの波形の評価に使うことが出来ます。

さらにA[i+d]とB[i]の相関係数を見ると
Aの波形を時間軸にそってdだけずらした波形とBの波形の関係を見ることになります。
これが1に近ければ、波形A,Bは時間dだけずれて形が似ているということになります。

さらに余談ですが、A[i]とA[i]の相関係数は1になりますが、もしもA[i]とA[i+d]の相関係数が1に近ければ、すなわちそれはAの波形とAをdだけずらした波形は似ているということになり、Aは周期dで周期性を持つことが示せます。

二つのデータに関係性があるかどうかという指標として、統計で用いる相関係数というものがあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0

二つの波形の時間ごとのデータをそれぞれ
  A[i] = A[1],A[2],A[3],...,A[n]
  B[i] = B[1],B[2],B[3],...,B[n]
としましょう。

もしもA,Bがまったく同じデータであれば
すなわちA[i]=B[i]ならば
その相関係数Sは1になります。

 A[i]大→B[i]大 , A[i]小→B[i]小
といった関係が強いほど相関係数は1に近づき、そのような...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Qピークの検出方法

ある離散時系列データf(x)があったとき、単純に考えれば
f'(x)=f(x+1)-f(x)<0.0001,f''(x)=f'(x+1)-f'(x)<0
となるxを求めればピークのxが検出できると思いますが、
f(x)が滑らかでない場合はどんな方法でピークが検出できますでしょうか?

Aベストアンサー

>f'(x)=f(x+1)-f(x)<0.0001, f''(x)=f'(x+1)-f'(x)<0 ....

基本はこれでOKなので、「f(x)が滑らかでない場合」に引っかかりそうなケースを考えてみましょう。

[誤検出しそうな例]
(1) サンプリングしたデータでは、ピークでの増分が 0.0001 未満とは限らない。(つまり、とんがり気味のピークは検出できない)
(2) 真のピークではなく、裾野の細かいうねりまで検出するおそれがある。

[対策例]
(1) 単純に、f'(x)が正から負へ極性反転したらピークとみなす。
(2) #1 さんの「平滑化」処理を適用する。
(2)' あるいは、f'(x)が正から負へ極性反転したピークの高さに閾値を設定しておく。(つまり、細かなピークは無視する)

ピーク検出には、適用分野に応じたノウハウが多数あるようです。


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