ニューステージ数学演習I・Ａ＋II・Ｂの９４番が解けません。 明日板書

ニューステージ数学演習I・Ａ＋II・Ｂの９４番が解けません。 明日板書しなくてはい...

robisafamilyさん

ニューステージ数学演習I・Ａ＋II・Ｂの９４番が解けません。
明日板書しなくてはいけないのですが、解答を見ても詳しい答えが載っていないので、どなたか解説お願いします。

問題
円周を１２等分した点を反時計回りの順にＰ1、Ｐ2、・・・Ｐ12とする。
このうち異なる３点を選び、それらを頂点とする三角形を作る。

(１)このようにして作られる三角形の個数は全部で[アイウ]個である。このうち正三角形は[エ]個で、
直角二等辺三角形は[オカ]個である。
(２)このようにして作られる三角形が、正三角形でない二等辺三角形になる確率は[キク]／[ケコ]である。
また、直角三角形になる確率は[サ]／[シス]である。

解答
アイウ ２２０ エ ４ オカ １２ キク／ケコ １２／５５ サ／シス ３／１１
補足
アイウに関しては、１２Ｃ３＝１２×１１×１０／３×２×１＝２２０ という答えが出ました。
正三角形も（Ｐ１、Ｐ５、Ｐ９）、（Ｐ１２、Ｐ４、Ｐ８）、（Ｐ１１、Ｐ３、Ｐ７）、（Ｐ10、Ｐ２、Ｐ６）の４つではないかと
思うのですが、ＣやＰや！などをどこで使うのかわからず、この先がさっぱりです。
わかる方、是非おねがいします！！

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/26 01:46

[アイウ]　12C3 から　[220]個でＯＫです。

[エ]　これも[4]個でＯＫです。
　　　考え方は質問者さんのように具体的に挙げても結構ですが次のように考えることもできます。

　　　頂点P1を使って正三角形を作る方法は1通り。
　　　なので重複を許して、この円周上で正三角形を作る方法は　頂点が12個あるので　12通り。
　　　ただし正三角形の頂点の個数分（3個）ずつ重複があるので、重複を除くと　12÷3=4　通り。


[オカ]　円に内接する直角三角形の斜辺は、その円の直径になります。
　　　　従って、ある1点を直角以外の1つの頂点に選ぶと　直角三角形の斜辺を作る頂点は　ただ1つに決まります。
　　　　斜辺を選んだとき　直角二等辺三角形になるように残りの１頂点を選ぶ方法は　2通り。
　　　　従って、重複を許せば　直角二等辺三角形は　12×2=24　通りできる。
　　　　ただし直角二等辺三角形は斜辺の頂点の個数分（2個）ずつ重複があるので　重複を除くと　24÷2=12　通りになります。　[12]個


[キク]／[ケコ]　二等辺三角形を作るためには、選んだ底辺の垂直二等分線上に点P1～P12のいずれかがなければなりません。
　　　　そのため、底辺を作る2つの頂点の間にある点Pは奇数個でなければなりません。
　　　　従って、底辺を作る頂点を１つ選べば　もう1つの底辺を作る頂点は　5通り　があります。
　　　　底辺を選んだとき　二等辺三角形になるように残りの1頂点を選ぶ方法は　2通り　です。
　　　　従って、重複を許せば　二等辺三角形は　12×5×2=120　通り　できます。
　　　　ただし二等辺三角形は底辺の頂点の個数分（2個）ずつ重複がありますので　重複を除くと　120÷2=60　個　になります。　
　　　　しかし、この中には正三角形も含まれていますので、その分を引きますと　60-4=56 個　となります。

　　　　[アイウ]より　三角形を作る方法は全部で　220通り　ですので、求める確率は　56/220=14/55 となります。　[14]/[55]


[サ]／[シス]　直角三角形を作る方法は　途中まで[オカ]の考え方を参考にします。
　　　　円に内接する直角三角形の斜辺は、その円の直径になります。
　　　　従って、ある1点を直角以外の1つの頂点に選ぶと　直角三角形の斜辺を作る頂点は　ただ1つに決まります。
　　　　斜辺を選んだとき　直角三角形になるように残りの１頂点を選ぶ方法は残りのすべての頂点となり　10通り。
　　　　従って、重複を許せば　直角二等辺三角形は　12×10=120　通りできる。
　　　　ただし直角三角形は斜辺の頂点の個数分（2個）ずつ重複があるので　重複を除くと　120÷2=60　通りになります。

　　　　[アイウ]より　三角形を作る方法は全部で　220通り　ですので、求める確率は　60/220=3/11 となります。　[3]/[11]



（このようにして作ると　直角三角形と二等辺三角形（正三角形を含む）の個数は同じ60個なのですね。直角二等辺三角形12個分の重複はありますが。）

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまいすみませんでした。
昨日は半ば諦めかけていたので、朝起きて回答を頂けたのを知って、ものすごく嬉しかったです！
急いでノートを作りなおしました（笑）
とても参考になりました。本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/10/26 21:58