二次関数とx軸との共有点を場合分けをして求める問題

前の質問に似ているのですが、また二次関数のx軸との共有点を場合分けをして求める問題で質問です。

二次関数 f(x)=x^2-2αx-5α+6 がある。ただし、αは正の定数とする。
f(x)=x^2-2αx-5α+6 のグラフがx軸と -2<x<2 の範囲において共有点をもつようなαの値の範囲を求めよ。

模範解答の場合分けは以下の通りです。

【1】-2<x<2 の範囲で、共有点が2個のとき （1<α<10/9）
【2】-2<x<2 の範囲で、x軸と接するとき （α=1）
【3】x軸と2点を共有し、そのうち一つが -2<x<2 の範囲に、他の一つが x<-2 または x>2 の範囲にあるとき （10/9<α<10）
【4】x軸と2点で共有し、そのうち一つが -2<x<2 の範囲に、他の一つのx座標が2 であるとき （α=10/9）
まとめて、1≦α<10

【4】で、模範解答では
x=2 がf(x)=0 の解であるから、計算して α=10/9
よって、f(x)=x^2-20/9x+4/9 だから、f(x)=0 とおいて計算すると、x=2 , 2/9
よって、x=2 でない方の解は x=2/9 で、これは -2<x<2 の範囲にあるから、α=10/9 は適する。

となっています。
しかし、これを自分は
-2<軸<2 すなわち、-2<α<2 かつ
f(2)=0 すなわち、α=10/9 かつ
f(-2)>0 すなわち、α<10
よって、α=10/9 としました。

これではダメですか？ダメなら理由と正しいやり方を教えてください。


また、以下のことは自分で思っただけなのですが、もしこの問題の条件が
「-2≦x≦2 の範囲において・・・」だった場合、場合分けは

【1】-2<x<2 の範囲で、x軸と異なる2点で交わる、または接する。
【2】x軸と2点で共有し、一つは -2<x<2 に、他の一つは x<-2 または x>2 の範囲にあるとき （つまり、f(2) * f(-2)<0 ということ）
【3】x=-2 または x=2 と共有点をもつとき

という場合分けでいいのでしょうか?


かなり長い文章になりましたが、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/12/05 01:06

#1です。

＞軸=α>0 かつ範囲が-2≦x≦2 なので、f(-2)=0 となると、
＞グラフの対称性（開き具合）的に、絶対に-2≦x≦2 の範囲に解はないと思ったので、
＞考える必要がないのかと思ったのですが、やはり解答作成の場合は書くべきでしょうか?
書いた方がいいと思います。
「考える必要がない」ことを「きちんと（論理的に）」説明した方がよいと思います。
もちろん、センタ試験のような答えだけを求める場合には必要ないですが。


＞また、回答のように
＞【4】x軸と 2点を共有し、そのうち一つは -2＜ x＜ 2にあり、もう一つは x＝ 2 または x＝ -2であるとき を説明する場合、質問文に書いた模範解答のやり方ではなく
＞（中略）
＞というやり方でいいのでしょうか?
これでいいと思います。


基本的には、「考えられる場合分けは、すべて網羅していますよ」としておいて、
その中で「不適（当てはまらないものもありました）」とするのが自然だと思います。
もしかすると、「別に省いても、答えが合ってるならいいのでは？」という人もいるかもしれませんが。＾＾；

この回答へのお礼

捕捉にまで丁寧に回答していただきありがとうございました。
また似たような質問をするかもしれませんが
よろしくお願いします。

お礼日時：2010/12/05 13:51

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/12/05 00:05

こんばんわ。

本質的には、先の質問（QNo.6361389）と同じですね。＾＾

＞しかし、これを自分は
＞-2<軸<2 すなわち、-2<α<2 かつ
＞f(2)=0 すなわち、α=10/9 かつ
＞f(-2)>0 すなわち、α<10
＞よって、α=10/9 としました。
＞これではダメですか？ダメなら理由と正しいやり方を教えてください。
模範解答【4】に対する考え方としては、これでいいと思います。

ただ、先の質問でも書きましたが、これも「結果論」的な内容になっています。
そもそも【4】は、【3】の延長線上（特別なバージョン）として考えているものとなります。
少し言い換えれば、【4】は「x＝±2という境界上が共有点になるとき」という場合分けになっています。
ですので、実際に解答を作成するときには、
【4】x軸と 2点を共有し、そのうち一つは -2＜ x＜ 2にあり、もう一つは x＝ 2 または x＝ -2であるとき
とするのが正しいです。
そして、x＝ -2のときを考えると題意が満たされないことがわかるので「不適」となります。


＞「-2≦x≦2 の範囲において・・・」だった場合、場合分けは
この場合分けでいいと思います。
ここの【3】は、上の模範解答【4】と同じ話になりますね。＾＾

この回答への補足

ご丁寧な回答ありがとうございます。

【4】x軸と 2点を共有し、そのうち一つは -2＜ x＜ 2にあり、もう一つは x＝ 2 または x＝ -2であるとき、とするのが正しいです。
とあるのですが、軸=α>0 かつ範囲が-2≦x≦2 なので、f(-2)=0 となると、グラフの対称性（開き具合）的に、絶対に-2≦x≦2 の範囲に解はないと思ったので、考える必要がないのかと思ったのですが、やはり解答作成の場合は書くべきでしょうか?

また、回答のように
【4】x軸と 2点を共有し、そのうち一つは -2＜ x＜ 2にあり、もう一つは x＝ 2 または x＝ -2であるとき を説明する場合、質問文に書いた模範解答のやり方ではなく

〔1〕
-2<軸<2 すなわち、-2<α<2 かつ
f(2)=0 すなわち、α=10/9 かつ
f(-2)>0 すなわち、α<10
よって、α=10/9

〔2〕
-2<軸<2 すなわち、-2<α<2 かつ
f(2)>0 すなわち、a<10/9 かつ
f(-2)=0 すなわち、a=10
よって共通部分がないので不適

というやり方でいいのでしょうか?

補足日時：2010/12/05 00:39