英語での数学

英文での数学の問題で聞きたいことがあり投稿させて頂きました。英訳は出来ればで結構ですので、回答と解説のみ宜しくお願いいたします。

1)Find a polynomial of degree 5 and has zero 1/2, -1 and -i, and leading coefficient 4; the zero -1 has multiplicity2.

の答えが4(x-1/2)(x+1)^2(x+i)(x-i)
なのですが、何故最後に(x-i)がくるのかわかりません。

2)x^3-x^2/x^3-3x-2
Answer all the asymptotes, intercepts, behavior around asymptotes, sign analysis and end behavior.

です。宜しくお願い致します。

No.5 ベストアンサー 回答者： mnakauye 回答日時： 2010/12/12 04:52

　こんにちは。

私はいまサモアという国の教育省で、数学教育の向上の仕事をしています。
英語で数学をやると、また違った観点が見えて結構面白いですよね。

　がんばってください。



1)Find a polynomial of degree 5 and has zero 1/2, -1 and -i, and leading coefficient 4; the zero -1 has multiplicity2

　（英訳）解が1/2, -1 と-iで、先頭の係数が４である５次多項式を求めよ、ただし
解ー１は２重解である。

　授業の展開などから実数係数の多項式を求めるであることは明らかなのでしょう。
（そうではなく、この問題だけなら、他の方の説明のように、
ーiの共役複素数 conjugate ＋iを解に持つことが使えなくなります。）
・・・・・だから＋iを解に持つことが使えるので、（ｘ＋i ）は元の式の因数
　　　　　　になります。
　したがって、多項式は、４（ｘ－１/２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）（ｘ－ｉ）（ｘ＋ｉ）
　ということになります。


2)x^3-x^2/x^3-3x-2
Answer all the asymptotes, intercepts, behavior around asymptotes, sign analysis and end behavior

（英訳）　全ての漸近線、切片、漸近線周辺の様子、関数の正負の分析、ｘ方向の両端の様子について答えなさい。
　
解答
　
　関数ｆ(ｘ）＝ｘ・ｘ・（ｘ－１）/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝

とおくと、分母（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）より、Ｘ≠２、ｘ≠ー１から

漸近線は、まず分母≠０から、（他は後ほど）

　ｘ＝２、ｘ＝－１

ｘ切片は、ｙ＝０から、分子＝０として、Ｘ＝１とＸ＝０（重解なので接する）

ｙ切片は、ｘ＝０から　ｙ＝０


関数の正負は、分母の因数ｘ＋１と分子の因数ｘとは、平方形から

正または０だから、符号の観点からは無視できて、（ｘ－１）/（ｘ－２）の符号を考えればよい。

　符号の観点からは、ｘ＝２とｘ＝－１、およびｘ＝０を除いて、

２次関数（ｘ－１）（ｘ－２）とおなじ。

よって、ｆ(ｘ）の符号は
　　ｘ＝－１、およびｘ＝０を除いてｘ＜１で正、
　　　　１＜ｘ＜２で負
　　　　ｘ＞２で正

つぎに関数の振る舞い（behavior）について

　
関数ｆ(ｘ）＝ｘ・ｘ・（ｘ－１）/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝

は、分母分子が３次関数だから、
ｘを無限大、ｘを無限小(－∞）のときを考えると、の３乗で分母分子を割れば、

ｙは１に近づく。　したがって　ｙ＝１も漸近線である。

（このことは、次の変形からもわかる。）

関数ｆ(ｘ）を部分分数分解して

関数ｆ(ｘ）＝１＋（－ｘの２乗＋３ｘ＋２））/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝　
　　　＝１＋４/｛９（ｘ－２）｝＋（－１３ｘ－７））/｛９（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝


第３項の分子は完全平方なので、
ｘがー１にどちらからちかづいても、分母は６日近づくので、＋無限大になる。
よって関数ｆ(ｘ）も＋無限大に近づく。

ｘが２に近づく時には、第二項の分母は

　ｘ＞＞＞２＋０（上から近づく時）には正、だから関数ｆ(ｘ）は＋無限大に近づく。
　ｘ＞＞＞２ー０（下から近づく時）には負、だから関数ｆ(ｘ）はー無限大に近づく。

　また、漸近線　ｙ＝１に関しては

ｆ(ｘ）＝１＋（－ｘの２乗＋３ｘ＋２））/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝　
の形で考えて、

ｘを無限大（正の無限大）ちかづけるとき、第２項の分母正、分子負なので
１に　１－のほうつまり下から近づく。

ｘを無限小（負の無限大）ちかづけるとき、第２項の分母負、分子負なので
第二項全体は正、よって

１に１＋のほうすなわち上から近づく。

　回答としては以上ですが、

これらの分析から、微分しなくてもある程度のグラフもかけますね。

　しかも変曲点がどの辺りにあるかも、見当がつきます。

No.4 回答者： mnakauye 回答日時： 2010/12/12 04:50

　こんにちは。

私はいまサモアという国の教育省で、数学教育の向上の仕事をしています。
英語で数学をやると、また違った観点が見えて結構面白いですよね。

　がんばってください。



1)Find a polynomial of degree 5 and has zero 1/2, -1 and -i, and leading coefficient 4; the zero -1 has multiplicity2

　（英訳）解が1/2, -1 と-iで、先頭の係数が４である５次多項式を求めよ、ただし
解ー１は２重解である。

　授業の展開などから実数係数の多項式を求めるであることは明らかなのでしょう。
（そうではなく、この問題だけなら、他の方の説明のように、
ーiの共役複素数 conjugate ＋iを解に持つことが使えなくなります。）
・・・・・だから＋iを解に持つことが使えるので、（ｘ＋i ）は元の式の因数
　　　　　　になります。
　したがって、多項式は、４（ｘ－１/２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）（ｘ－ｉ）（ｘ＋ｉ）
　ということになります。


2)x^3-x^2/x^3-3x-2
Answer all the asymptotes, intercepts, behavior around asymptotes, sign analysis and end behavior

（英訳）　全ての漸近線、切片、漸近線周辺の様子、関数の正負の分析、ｘ方向の両端の様子について答えなさい。
　
解答
　
　関数ｆ(ｘ）＝ｘ・ｘ・（ｘ－１）/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝

とおくと、分母（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）より、Ｘ≠２、ｘ≠ー１から

漸近線は、まず分母≠０から、（他は後ほど）

　ｘ＝２、ｘ＝－１

ｘ切片は、ｙ＝０から、分子＝０として、Ｘ＝１とＸ＝０（重解なので接する）

ｙ切片は、ｘ＝０から　ｙ＝０


関数の正負は、分母の因数ｘ＋１と分子の因数ｘとは、平方形から

正または０だから、符号の観点からは無視できて、（ｘ－１）/（ｘ－２）の符号を考えればよい。

　符号の観点からは、ｘ＝２とｘ＝－１、およびｘ＝０を除いて、

２次関数（ｘ－１）（ｘ－２）とおなじ。

よって、ｆ(ｘ）の符号は
　　ｘ＝－１、およびｘ＝０を除いてｘ＜１で正、
　　　　１＜ｘ＜２で負
　　　　ｘ＞２で正

つぎに関数の振る舞い（behavior）について

　
関数ｆ(ｘ）＝ｘ・ｘ・（ｘ－１）/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝

は、分母分子が３次関数だから、
ｘを無限大、ｘを無限小(－∞）のときを考えると、の３乗で分母分子を割れば、

ｙは１に近づく。　したがって　ｙ＝１も漸近線である。

（このことは、次の変形からもわかる。）

関数ｆ(ｘ）を部分分数分解して

関数ｆ(ｘ）＝１＋（－ｘの２乗＋３ｘ＋２））/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝　
　　　＝１＋４/｛９（ｘ－２）｝＋（－１３ｘ－７））/｛９（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝


第３項の分子は完全平方なので、
ｘがー１にどちらからちかづいても、分母は６日近づくので、＋無限大になる。
よって関数ｆ(ｘ）も＋無限大に近づく。

ｘが２に近づく時には、第二項の分母は

　ｘ＞＞＞２＋０（上から近づく時）には正、だから関数ｆ(ｘ）は＋無限大に近づく。
　ｘ＞＞＞２ー０（下から近づく時）には負、だから関数ｆ(ｘ）はー無限大に近づく。

　また、漸近線　ｙ＝１に関しては

ｆ(ｘ）＝１＋（－ｘの２乗＋３ｘ＋２））/｛（ｘ－２）（ｘ＋１）（ｘ＋１）｝　
の形で考えて、

ｘを無限大（正の無限大）ちかづけるとき、第２項の分母正、分子負なので
１に　１－のほうつまり下から近づく。

ｘを無限小（負の無限大）ちかづけるとき、第２項の分母負、分子負なので
第二項全体は正、よって

１に１＋のほうすなわち上から近づく。

　回答としては以上ですが、

これらの分析から、微分しなくてもある程度のグラフもかけますね。

　しかも変曲点がどの辺りにあるかも、見当がつきます。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/12/11 18:42

＃ちなみに zeros ってのは（複数の）「ゼロ点」という意味で

＃多項式の根（root）のことをいうのであって f(0)=0 を意味するのではない．＞#1

1)については問題文に不足がある．
おそらく，実数係数の多項式だけを考えてるんでしょう？

5次の多項式でゼロ点が 1/2, -1 , -i であり，最高次数の係数が4で，
ゼロ点 -1 の重複度が2であるものを求めよ．

実数係数の多項式だったら，複素数がゼロ点だったらその共役もゼロ点なんだから
i もゼロ点になるので

4(x-1/2)(x+1)^2(x-i)(x+i)

が答え．もし，「実数係数」じゃなかったら，i がでてくる根拠はないが
「Find ``a''」といわれていることを拡大解釈して
「条件を満たす多項式を一つ見つけよ」を「例示せよ」として
一個だけ例として実数係数のものを挙げたという意味で

4(x-1/2)(x+1)^2(x-i)(x+i)

を例示してもいい

2)については

漸近線と，切片を「全部」求めて，
漸近線近傍での挙動を考えて，
正負の値の変化と
無限遠での挙動を論じればいい．

とどのつまり，「グラフをきっちり描け」るように
説明せよってことでしょう．

No.2 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/11 17:15

これだけでは、なぞなぞみたいだなあ・・・・・

従って、前文を補わなければならない。

｛整式について考えたのでよい｝
1)Find a polynomial of degree 5 and has zero 1/2, -1 and -i, and leading coefficient 4; the zero -1 has multiplicity2
　５次の多項式をもとめよ。ただし、ゼロ点　1/2,-1,-i　を有するものとし先頭の係数は４で、ゼロ点ー１は二乗する。

・・・・・整式だから　ゼロ点-i つまり　（ｘ＋i ）の項があれば（ｘ－i ）の項も同時に存在しなければ虚数を含む
　　　　多項式になってしまうでしょう・・・・・
・・・・・それに５次にならないでしょう・・・・

2)x^3-x^2/x^3-3x-2
Answer all the asymptotes, intercepts, behavior around asymptotes, sign analysis and end behavior
全ての漸近線、切断辺、漸近線周辺の様子、正負の変化、終点がどのようになるか、について回答せよ。

・・・・・漸近線については自明、
　　　　グラフを書いたときにｘ軸を切る筈だからどのように切るか、
　　　　漸近線は正の領域にあるのか、負の領域にあるのか、あるいはｘ軸を切断するのかどうか
　　　　このグラフはｘ軸と交わるだろうから、正の部分と負の部分があるはず
　　　　ｘを無限大にすると値はどうなるのか、ｘを無限小(－∞）では値はどうなるのか。

No.1 回答者： skydaddy 回答日時： 2010/12/11 17:11

１）解が０をとるためにx-iではなくｘ。

でも０になる項は２次なのでX＾２ではないでしょうか？