対称移動と回転の合成のイメージでの理解

平面上の一次変換を考えます。

(y=xtanαに関する対称移動)は、

(原点中心で角αの回転)*(x軸に関する対称移動)*(原点中心で角－αの回転)

という合成になります。ただし、点には、右にある変換から順に作用させるとします。
これは、式を書かなくても、イメージで十分納得できます。

また、(y=xtanαに関する対称移動)は、

(原点中心で角2αの回転)*(x軸に関する対称移動)

という合成にもなります。ただし、点には、右にある変換から順に作用させるとします。
しかし、これは行列の積の式では理解できるのですが、どうしてもイメージできないのです。

x軸に関する対称移動して、原点中心で角2αの回転すれば、y=xtanαに関する対称移動になる理由を、式を用いないで教えていただけないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/01/08 12:49

添付図をご覧くだされば、おわかりになるのではないでしょうか。

一応説明を加えますと、
P1 → P1' はx軸に関する対称移動です。
P1 → P2 はy=xtanαに関する対称移動です。
対称移動であることから、x軸は角P1OP1'の二等分線、y=xtanαは角P1OP2の二等分線になります。

したがって、P1'からP2への回転角は

2θ_1+2θ_2 = 2α

となります。

この回答へのお礼

まことにありがとうございます。
たいへんよく理解できました。

似たような図も調べてみました。
http://mixedmoss.com/NonEuclidianGeometry/Poinca …

お礼日時：2011/01/09 13:53

No.2 回答者： momordica 回答日時： 2011/01/08 13:57

x軸に関して対称移動したものと、y=xtanαに関して対称移動したものは

どちらも原点を動かさずにもとの平面を「裏返し」にしたものですから、
原点を中心に適当な角度だけ回転移動すれば、互いに重ねることができます。
そのことは直感的に納得できますか？

もしそれができるなら、後は、x軸に関して対称移動した後、どれだけ
回転させれば重なるかを考えるだけです。
y=xtanαは、y=xtanαに関する対称移動では当然それ自身に移りますが、
x軸に関する対称移動ではy=-xtanαに移っていますから、これをもとの
y=xtanαと（向きが逆にならないように）重なるところまで回せばOKです。
y=xtanαとx軸、x軸とy=-xtanαのなす角はそれぞれαですから、合計2αだけ
回転させればいいということになります。

この回答への補足

ありがとうございます。

今回の質問の場合には、一次独立な二つのベクトル(1,0)と(cosα,sinα)の移動先が同じであることをイメージすればよいのですね。

補足日時：2011/01/09 16:39

この回答へのお礼

まことにありがとうございます。

一次変換は、ベクトル(0,1)とベクトル(1,0)の移動先が分かれば一意的に決まるということを用いてイメージするのですね。

すると、原点を通る直線に関する対称移動、原点を中心とする回転移動を、どれだけ合成しても、ベクトル(0,1)とベクトル(1,0)の移動先を調べれば、どのような一次変換になるかがすぐに分かるということですね。

お礼日時：2011/01/09 13:50