【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

実験より得られたデータを最小二乗法にて近似を行い、近似式を算出しました。
得られた近似式から、時定数を算出しようと思うのですが、どのような計算を行えばよいかわかりません。
プログラミングにて算出しますので、算出するための具体的な式などあれば教えてもらえれば助かります。

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A 回答 (3件)

#1です。



A#1の補足の質問の回答

>測定点をy=be^ax として近似計算させています。
>この際 A=-0.1 B=30 となったとき、
y=30e^(-0.1t)=30e^(-t/10)=be^(-at)
a=1/10
>何も考えずに、τ=1/a = 1/-0.1 =0.9
間違いです

正:τ=1/a=10[sec]

となります。
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たとえば、測定値Xが時間の関数として



X(t) = A e^(t/T)

の関数で書けるしたら、対数をって

ln X(t) = ln A + t/T

としてからtとln X(t)に対して最小二乗法を使えば、
傾きの逆数が時定数Tになります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
よくわからないのですが、
近似計算を
Y=ae^bX として近似計算をしましたので、
教えていただいた式の形とは違うのでしょうか?
いずれにせよ、先に回答いただいた方と同様に
逆数をとればよいということがわかりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2011/01/08 23:32

指数近似関数が


b{1-e^(at)} または be^(-at)
の形であれば、時定数τはτ=1/aとなります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確認ですが、
測定点をY=be^ax として近似計算させています。
この際 A=-0.1 B=30 となったとき、
何も考えずに、τ=1/a = 1/-0.1 =0.9
という理解でよいのでしょうか? 

お礼日時:2011/01/08 23:28

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Q時定数について

時定数(τ=CR)について物理的意味とその物理量について調べているのですが、参考書等これといってわかりやすい説明がありません。どうが上記のことについて詳しく説明してもらえないでしょうか?

Aベストアンサー

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さいほど時間がかかります。逆に水槽が大きくても蛇口も大きければ水は短時間で出て行きますし、蛇口が小さくても水槽が小さければこれまたすぐに水槽はからっぽになります。
すなわち水がからっぽになるまでに要する時間の目安として
 水槽の大きさ×蛇口の小ささ
という数字が必然的に出てきます。ご質問の電気回路の場合は
 コンデンサの容量→水槽の大きさ
 抵抗→蛇口の小ささ
に相当するわけで、CとRの積がその系の応答の時間的な目安を与えることはなんとなくお分かり頂けると思います。

数式を使いながらもう少し厳密に考えてみましょう。以下のようにコンデンサCと抵抗Rとからなる回路で入力電圧と出力電圧の関係を調べます。
 + C  -
○─┨┠─┬──●
↑    <  ↑
入    <R  出
力    <  力
○────┴──●

入力電圧をV_i、出力電圧をV_oとします。またキャパシタCに蓄積されている電荷をQとします。
するとまず
V_i = (Q/C) + V_o   (1)
の関係があります。
また電荷Qの時間的変化が電流ですから、抵抗Rの両端の電位差を考えて
(dQ/dt)・R = V_o   (2)
も成立します。
(1)(2)を組み合わせると
V_i = (Q/C) + (dQ/dt)・R   (3)
の微分方程式を得ます。

最も簡単な初期条件として、時刻t<0でV_i = 0、時刻t≧0でV_i = V(定数)となるステップ応答を考えます。コンデンサCは最初は帯電していないとします。
この場合(3)の微分方程式は容易に解かれて
V_o = A exp (-t/CR)   (4)
を得ます。exp(x)はご存じかと思いますがe^xのこと、Aは定数です。解き方が必要なら最後に付けておきましたので参考にして下さい。
Cは最初は電荷を蓄積していないのですから、時刻t=0において
V_i = V = V_o   (5)
という初期条件が課され、定数Aは実はVに等しいことが分かります。これより結局、
V_o = V exp (-t/CR)   (6)
となります。
時間tの分母にCRが入っているわけで、それが時間的尺度となることはお分かり頂けると思います。物理量として時間の次元を持つことも自明でしょう。CとRの積が時間の次元を持ってしまうのは確かに不思議ではありますが。
(6)をグラフにすると下記の通りです。時刻t=CRで、V_oはV/e ≒0.368....Vになります。

V_o

* ←初期値 V        
│*
│ *
│   *         最後は0に漸近する
│      *       ↓
└───┼──────*───*───*───*─→t
t=0  t=CR
   (初期値の1/e≒0.368...倍になったタイミング)


【(1)(2)の解き方】
(1)の両辺を時間tで微分する。V_iは一定(定数V)としたので
0 = (1/C)(dQ/dt) + (dV_o/dt)
(2)を代入して
0 = (1/CR) V_o + (dV_o/dt)
-(1/CR) V_o = (dV_o/dt)
- dt = dV_o (CR/V_o)
t = -CR ln|V_o| + A
ここにlnは自然対数、Aは定数である。
この式は新たな定数A'を用いて
V_o = A' exp (-t/CR)
と表せる。

1次応答のお話ですね。
物理の世界では「1次応答」と呼ばれる系をしばしば扱います。その系の応答の時間的尺度を表す数字が「時定数」です。物理量としては時間の次元を持ち、時間と同様に秒や分などを単位に表現できます。

直感的には「水槽から出て行く水」のアナロジーで考えると分かりやすいと思います。いま水槽があって下部に蛇口が付いているとします。蛇口をひねると水は流れ出ますが、水が流れ切ってしまうまでにどれくらい時間がかかるでしょうか。
明らかに水槽が大きいほど、そして蛇口が小さい...続きを読む

Q指数関数のカーブフィッティング

時間tに対する1chデータ列yがありまして、それを
y=a exp(b t) + c
に対して客観的に、できれば自動的にフィッティングして、a,b,cを求めたいです。
これがただの1次関数の最小二乗法ならわかりますし、cが既知なら1次関数の応用で、というところまでもわかります。恥ずかしながら渡井には非線形最小二乗法を一般論で理解して解けるような気がしません。

Excelを使った最小二乗法手順説明サイト
http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms2.html
のような方法か、
C/C++のプログラム
http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/predict/predict.htm#2
のようなアルゴリズムの説明をいただけると大変ありがたいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答が寄せられていませんので考えてみました。
ヒントになれば幸いです。

最小二乗法は直線に当てはめる場合の方法です。
y-c=aexp(bt)
の両辺の対数を取ると
ln(yーc)=ln(a)+bt
です。cが分かればできるのだがと書かれているのはこの式のことですね。
ならばcを推定する手順を入れたらと考えました。

時系列t1、t2、t3、・・・が等間隔とします。
ln(y2-c)-ln(y1-c)=b(t2-t1)=bτ
ln(y3-c)-ln(y2-c)=b(t3-t2)=bτ
ln(y4-c)-ln(y3-c)=b(t4-t3)=bτ

(y2-c)/(y1-c)=k
(y3-c)/(y2-c)=k
(y4-c)/(y3-c)=k

(yn-c)は等比数列になっているはずです。
y1、y2、y3に対して
(y2-c)/(y1-c)=(y3-c)/(y2-c)
より
c=(y1y3-y2^2)/(y1+y3-2y2)
が決まります。
y2、y3、y4に対しては
c=(y2y4-y3^2)/(y1+y4-2y3)
が決まります。
データがばらついていますからこのcもばらつきます。
さしあたり平均で推定していいのではないでしょうか。この値を計算して平均を求めるアルゴリズムはやさしいはずです。
全データでなくて一部でやっても構わないはずです。時間が等間隔でなければ等間隔の部分を抜き出してやればいいです。cの分布の幅も押さえておくといいでしょう。後でcを修正するときに必要になります。

cの値が推定できればln(y-c)とtのグラフを作って最小二乗法でa、bが決まります。もし適合の指標のような値も同時に得られるのでしたら少しcの値を動かして比べてみるといいと思います。cの分布の幅が分かっているとcの値を動かす目安になります。平均でやったのとあまり違わなければ平均でもいいということになります。

ご質問を見て考えたものです。素人っぽい考えかたです。

回答が寄せられていませんので考えてみました。
ヒントになれば幸いです。

最小二乗法は直線に当てはめる場合の方法です。
y-c=aexp(bt)
の両辺の対数を取ると
ln(yーc)=ln(a)+bt
です。cが分かればできるのだがと書かれているのはこの式のことですね。
ならばcを推定する手順を入れたらと考えました。

時系列t1、t2、t3、・・・が等間隔とします。
ln(y2-c)-ln(y1-c)=b(t2-t1)=bτ
ln(y3-c)-ln(y2-c)=b(t3-...続きを読む

Q一次遅れ系の制御における時定数Tの求め方

計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。

単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。
一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。
一つは、1-exp(-t/T)が63.2%になったとき。
もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。
とあります。
ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?

また単位インパルス応答はexp(-t/T)です。
これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、
同様に、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの
原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?
そうです。
t=Tとおくと、このときの振幅v(T)=1-exp(-T/T)=1-exp(-1)≒0.6321
と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21%にあたります。

>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?
求められます。

過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は
u(t)=1-(t/T)ですので、u(t)=0(定常値)になる時間は
1-(t/T)=0からt=T(時定数)が求められます。
このときの振幅はv(T)=exp(-T/T)=exp(-1)≒0.3679
これは定常値(0)までの振幅1に対して36.79%にあたります。

Q時定数の求め方について

始めまして、初めて質問します。

「電源、抵抗R、コンデンサCを直列に接続し、さらにコンデンサに並列に抵抗rを接続した場合」の時定数はどうなるのでしょうか?
電源、抵抗R、コンデンサCを直列に接続しただけのRC回路の時定数はRCになる事は導けたのですが、コンデンサに抵抗rを並列接続しただけでどうしたらよいのかわからなくなってしまいました。

どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

R・i1+r・i3=E・・・・・(1)
q/C=r・i3・・・・・(2)
i1=i2+i3・・・・(3)
(1)(2)(3)の式からi1を解くと、
τ=C・R・r/(R+r)に成ります。
参考に
i1=E/(R+r)・{1+ε^-(R+r)t/(CRr)}

Q時定数τの求め方

直列のRC回路があり、実験値でτを求めたのですが、
理論値でも出すよう、指示が出ました。

色々調べたのですが、τ=RCに出る段階がよく分かりません。

V(抵抗)+V(コンデンサー)=Vo を使って求めていくのはいいのですが、どうやったら、すっきりとτ=RCがでるのですか?
実験器具は下図のようになってます。
発信機からは方形波が出ています。
_______________
| |
| |
発信機 =
| |
| |
| >
| <
| >
_______________|

Aベストアンサー

質問者さんの仰るように
 V_R + V_C = V_0     …(1)
を使います.

オームの法則 V = IR,電気容量の定義式 Q = CV より
(1) 式は
 IR + Q/C = V_0
となるので,dQ/dt = I に注意して両辺時間で微分すると
 (dI/dt)R + I/C = 0
という微分方程式を得ます.

これを解くことで
 I = I_0 * exp{-t/(RC)}
が出てきます.

Q時定数の単位次元について

こんにちは♪ちょっと質問なんですが、時定数τ=RCっていう公式ありますよね?これってどう考えても単位が合わないですぅ・・・抵抗とコンデンサー容量かけても時間には・・・・気になるので早く教えてくださいお願いします

Aベストアンサー

合っていますよ。
[抵抗]=[電圧]/[電流]
[静電容量]=[電荷]/[電圧]
[電流]=[電荷]/[時間]
ですから、
[抵抗]×[静電容量]
=([電圧]/[電流])×([電荷]/[電圧])
=[電荷]/[電流]
=[電荷]/([電荷]/[時間])
=[時間]
です。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qエクセルの指数近似曲線の式から値を計算する

有るデータを元に指数近似曲線を描かせると「y = 2E+08e-0.098x R² = 0.9847」と出ました。
インターネット等を参考にしてエクセルで値を計算させようとして以下の式を作りましたが計算結果が全く元データと合いません、何が間違っているのでしょうか?教えて下さい。
y = 2E+08e-0.098x⇒y=2*POWER(10,8)*EXP((-0.098*x))

Aベストアンサー

質問者様はグラフに表示された数式と同じワークシートの数式を正しく作成されています。
(実際の数式ではyはなくxのところにセル参照が入っているのですよね)
元データと合わない原因ですが、グラフに表示された数式の係数の精度不足ではないでしょうか。
それが原因であれば、グラフに表示された数式の表示形式を変更して係数の精度を上げ、その数値でワークシートの数式を作り直せば多くの場合解決します。
どのような数値でも精度良く表示するためには、表示形式を指数にして小数点以下14桁にするとよいと思います。

ご存知かもしれませんが、以下念のためグラフに表示された数式の表示の変更方法を説明します。
Excel2003とExcel2007についての解説となりますが他のバージョンも大きくは違わないと思いますのでそこのところの対応はよろしくお願いいたします。
1.グラフに表示された数式を右クリック
2.2003なら「データラベルの書式設定」をクリック、2007なら「近似曲線ラベルの書式設定」を左クリックする。
3.書式設定のダイアログが出るので、「表示形式」を左クリック(2003は上、2007は左上。最初からクリックされた状態になっている可能性あり。)
4.「分類」(表示形式)の「指数」を左クリック。(「数値」はNG)
5.「小数点以下の桁数」を14にする。(最大30だが「分類」(表示形式)が「指数」ならば15以上は無意味。Excelの精度が15桁であるため。)
6.「OK」を左クリック

なお、質問者様の作成された式の「2*POWER(10,8)」の部分ですが、「2*10^8」「2E+08」「2e8」などとしても数式の値としては同じになります。

質問者様はグラフに表示された数式と同じワークシートの数式を正しく作成されています。
(実際の数式ではyはなくxのところにセル参照が入っているのですよね)
元データと合わない原因ですが、グラフに表示された数式の係数の精度不足ではないでしょうか。
それが原因であれば、グラフに表示された数式の表示形式を変更して係数の精度を上げ、その数値でワークシートの数式を作り直せば多くの場合解決します。
どのような数値でも精度良く表示するためには、表示形式を指数にして小数点以下14桁にするとよいと思...続きを読む

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
3.Lもインダクタンス誤差は±20%で、
3.C・Rは理想的なC・Rでは無く、CにL分、Lに抵抗分の損失に繋がる成分があります。
これらの損失に繋がる成分は、試験周波数が高くなると、周波数依存で増大します。
また、周囲温度やLCRの素子自身で発生する自己発熱で特性が変化します。
測定器や測定系にも誤差が発生する要因もあります。
理論値に対する測定値が±5%程度発生するのは常で、実際に問題にならないように、
LCRの配分を工夫すると誤差やバラツキを少なく出来ます。
 

Q微分回路、積分回路の出力波形からの時定数の読み方

微分回路、積分回路それぞれに方形波を入力し、出力波形をオシロスコープで観察したのですが、この出力波形から時定数をどのように読み取ればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

CR微分回路の場合には、最大出力電圧の37%まで出力電圧が落ちるまでの時間が時定数になります。
CR積分回路では、最大出力電圧の63%まで出力電圧が上がるまでの時間が時定数になります。


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