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∫r(4-r^2)^1/2 dr の積分の仕方について教えていただけませんか?

A 回答 (3件)

こんにちは。

簡単な置換積分です。

I=∫r(4-r^2)^1/2 dr とおく。分子にrdrがあり、分母に4-r^2があります。

そこで 4-r^2=uとおくと 微分して -2rdr=du とできる。

それならば初めからいっそ (4-r^2)^1/2 =√(4-r^2)=t とおいて

微分すれば -2rdr/2√(4-r^2)=dt となる。以下お分かりでしょう。

任せます。
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積分区間が判っていれば、r = sinθ で置換積分するのが簡潔ではある。


不定積分だと、場合分けが煩瑣で、このやりかたは実用的でないが。
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{(4-r^2)^(3/2)}'=(4-r^2)'*(3/2)(4-r^2)^(1/2)=-3r(4-r^2)^(1/2)



なので


∫r(4-r^2)^1/2 dr=-(1/3)(4-r^2)^(3/2) +C =-(1/3)(4-r^2)√(4-r^2) +C
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