何度もすいません。この問題なのですが、 D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}での積分をするにあたって極座標変換をする時、どうして0≦θ<π/4のときがr=1/cosθで、π/4≦θ≦/2のときがr=sinθなのでしょうか。また今まで自分は円形の領域でしか極座標変換はできないものと思っていましたが今回の領域Dは正方形です。こういう場合でも極座標変換は使ってもよろしいのでしょうか。
当たり前のことなのかもしれませんが自分はイメージをつかむことができません。どうか解答よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
積分領域D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}を極座標に変換すると、この正方形領域は1つの式で表せないのでDを2つの領域(図のD1とD2)に分割することで領域を極座標で表すことが可能になります。
D=D1+D2
三角領域D1={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/cosθ,0≦θ<π/4}
三角領域D2={(x,y)|0≦y≦x≦1}⇔{(r,θ)|r=1/sinθ,π/4≦θ≦π/2}
ここで
D1の積分境界の極座標線分r=1/cosθ(0≦θ<π/4)は 線分x=1(0≦y≦1)に対応します。
またD2の積分境界の極座標線分r=1/sinθ(π/4≦θ≦π/2)は 線分y=1(0≦x≦1)に対応します。
極座標におけるr=f(θ)(θ1≦θ≦θ)の直線や線分の表現をしっかりマスターしましょう。
そうすれば、積分領域D1では極座標における積分範囲は0≦r≦1/cosθ,0≦θ<π/4となることが分かります。
また、積分領域D2では極座標における積分範囲は0≦r≦1/sinθ,π/≦θ≦π/2となることが分かります。
極座標の直線(線分)の表現に慣れれば、分かることです。
>こういう場合でも極座標変換は使ってもよろしいのでしょうか。
ぜんぜん問題ないですね。面積素で考えて積分領域を全部覆っていれば、積分領域の形が円形領域に限定する必要はないですね。ただ円形領域だと積分が簡単なので、極座標の積分問題が円形領域や扇形領域の問題が多く出題されているに過ぎないだけです。
非常に分かりやすい説明ありがとうございます。自分はまだまだ勉強不足だということがわかりました。
回答してくださり本当にありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利 1 2022/08/04 17:31
- 数学 広義積分 3 2022/12/07 12:29
- 数学 座標変換について 1 2022/08/04 16:42
- 数学 線形代数の2次元直交座標系、極座標系についての問題がわからないです。 2 2022/07/16 20:42
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 物理学 座標変換に関して質問です。参考書に 「力は一般に時間と場所によって異なるから力f(ベクトル)はx,y 3 2022/07/03 20:24
- 数学 極座標の2重積分を行う際、角度を[0~2π]まで積分するのと、[-π~π]まで積分するのでは何か違い 2 2022/12/10 20:24
- 数学 次の複素数を極形式で表せ。偏角θの範囲は0≦θ<2πとする -4( cosπ/5+i sinπ/5) 6 2023/07/03 14:19
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 物理学 示すように,真空中の直交座標系を考える。y平面に平行な つ領域Iと領域Iがあり,軸上の領域Iと領域I 1 2023/06/25 14:46
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos π/8 の求め方
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
三角関数の合成です sinθ+√3cos...
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
積分計算(定積分)
-
3次元で放物線を奥に45度回転
-
高3の複素数の問題で、どうして...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
複素数のn乗根が解けません
-
ガンマ関数 ベータ関数 積分
-
半角の公式の使い方
-
重積分について
-
∫∫【0,π/2】×【0,π】sin(x+y)d...
-
媒介変数を用いた積分
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
この問題の解き方を教えてください
-
次の複素数を極形式で表せ。偏...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数3の極限について教えてくださ...
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
重積分について
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
複素数のn乗根が解けません
-
∫0→π/2 sin^2x dx
-
極座標θ r φの範囲
-
cos π/8 の求め方
-
複素数の偏角
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
数学の証明問題です。
-
数学Ⅱ 三角関数のグラフ y=-2co...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
いろいろな公式
-
この1/2はどこからでてきました...
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
三角関数の合成です sinθ+√3cos...
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
おすすめ情報