No.1
- 回答日時:
(1)
*T={ x∈S | f(x)≠x}
に対し、x∈Sを取ります。
条件よりy=f(x)と置くとx≠y, f(y)=xとなり
ますが、この時yにf, f・fを作用させると
どうなりますか。
*厳密に示したいなら、上の事を踏まえて
各同値類の元の数が2となるような同値関係を
Tの上に定義すればいいです。
(2)
ヒントに有るように、f(x)=x^{-1}と
置くと、f・f(x)=xであって(1)の条件を
満たしますね。
そこでGの元を
a 位数1の元
b 位数2の元
c 位数が3以上の元
と分けた時、
[1] a, b, cの元はf(x)=xになるか、それともf(x)≠xであるか
(そもそも、f(x)=xを変形するとどうなる?)
[2] a, cの元の個数はどうなるか
aについては位数1の元は何かを考えれば分かりますね
cについては[1]の結果を使う
を調べ、最後にGの位数は偶数個であるということを
使いましょう。
No.2
- 回答日時:
(1)
*T={ x∈S | f(x)≠x}
に対し、x∈Sを取ります。
に対し、x∈Tを取ります。
の誤りです。
この回答への補足
> tmpname さん
先ほどは回答していただきありがとうございました.
(1)
yにf, f・fを作用させると,
f(y)=f・f(x)=x
f・f(y)=f(x)
ですが,ここからどうやってTの元の数が偶数個であることが言えるのでしょうか?
(理解不足で申し訳ありません…)
(2)
(1)は出来ていませんが,これを認めた上で解きました.
f:x↦x^(-1)とすると,これは条件を満たすので,
f(x)≠x i.e x^(-1)≠x
となるx∈Gの数は偶数個になります.
一方,Gは位数が偶数なので,x^(-1)=xとなるx∈Gの数も偶数個になりますよね.
すなわち,単位元e以外にx^(-1)=xとなるようなxがあって,
これはx^2=eを満たすので,Gは位数2の元を含むという感じではダメでしょうか?
No.3
- 回答日時:
(1)
y=f(x) を x,y の二項関係と見ると、これは S 上の同値関係になっています。
よって、この同値関係による類別 S/f が作れます。
S/f の各元は、S の元 2 個からなる集合ですから、
S の元の個数は、S/f の元の数の 2 倍、したがって偶数です。
(2)
No.2 補足の解答でよいと思います。
単位元が存在するために、x^(-1)=x となる x の「偶数個」は 0 ではなく、
位数 2 の元が (2 以上 - 1) 個となりますね。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
(2)はそちらの方がsimpleですね。
(1)ですが、
> yにf, f・fを作用させると,
> f(y)=f・f(x)=x
> f・f(y)=f(x)
f・f=idでしたよね?よってf・f(y)=y.
つまり
*x∈Tに対しy=f(x)も x=f(y), f・f(y)=y
よりy∈T、かつx≠y
ここから(x,y)という「ペア」が見えてきませんか?
後はこれらの「ペア」に対し、異なる「ペア」には
共通の元がない事を言えばいいです。
厳密に書きたいなら、T上の同値関係~を
x~y <=> 「x=y又はy=f(x)」
で定義する(つまり「ペア」を作る)と、
今言った事からx∈Tなら確かにy∈Tであって、
且つ~は確かにT上の同値関係を定める、
i.e.
*x~x
*x~y ⇒ y~x
注:y~xというのは「y=x又はx=f(y)」ですね
*x~y, y~z ⇒ x~z
を満たします(確かめて下さい)。
そこでこの同値条件によってTを類別した時、
各々の同値類の元の個数は2です(確かめて下さい)。
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