連続関数の定義に関して(位相空間)

「定義 (Ｘ、Ｏ_Ｘ)、(Ｙ、Ｏ_Ｙ)を位相空間とする。写像ｆ：Ｘ→Ｙが連続であるとは、Ｕ \in Ｏ_Ｙ→ｆ~(-1)（Ｕ）\in Ｘ　を満たすことである。(ただし、Ａ\in Ｂは、ＡがＢに含まれているという意味とする)」
と”連続”の定義が位相空間論の本には載っていて、この定義がε－δ論法での連続の定義と同じであることが一般に言われていますが、どうして位相空間論における連続の定義では、ｆ^(-1)の存在を特に何の指定もなく認めてしまっていいのか、その辺りがよくわかりません。もしもわかっている方がいらっしゃれば、お教えいただけないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： sphere_aki 回答日時： 2011/03/01 16:17

そのｆ^(-1)は逆写像ではなくて逆像です。

（同じ記号で書くので紛らわしいですね）
定義はN01の方の通りf^-1(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B }です。(BはYの任意の部分集合）
fがXからYへの写像であるのに対して、ｆ^(-1)はYの部分集合全体からXの部分集合全体への写像です。
逆写像は全単射でなければ存在しませんが、逆像はつねに存在します。
ちなみに、よく逆像の意味でｆ^(-1)(y)などと書くことがありますが、これは本来はｆ^(-1)({y})と書かれるべきものです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
逆写像と逆像の違いを、きちんと認識しておりませんでした。
とても勉強になりました。有り難うございました。

お礼日時：2011/03/02 09:02

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/01 16:04

f (や f^-1) を「集合から集合への写像」としているからではないですか? つまり f^-1 を

f^-1(Y) = { x ∈ X | f(x) ∈ Y }
と定義すればいかなる写像 f: X → Y に対してもその逆写像を定義できますよね.

この回答へのお礼

お教え頂き、有り難うございます。
とても参考になりました。

お礼日時：2011/03/02 09:03