ベクトルの問題について

三角形ABCの内部の点Pが、2PA+PB+3PC=0(ベクトルの矢印は省略しました)
を満たしている。
(1)直線APと辺BCの交点をDとする。比AP：PDを求めよ

点Pは動点なので、点Aを基準にして条件を書き直して、
-2AP+AB-AP+3(AC-AP)=0
∴AP=(AB+3AC)/6
ここまであっているかよくわからないのですが、
ADがうまく求められません。

アドバイスよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/09/21 13:42

惜しいところまでいっています。

ちょっと僕なりの解き方を。

これはまずPAについてときます。
PA＝-(PB+3PC)/2
ですね。これをさらに変形して
PA=-(PB+3PC)/(3+1)　×　(3+1)/2　　←(PB+3PC)/(3+1)を作りだした
(PB+3PC)/(3+1)はPDそのものですよね。（直線PA上にりかつBC上にあるので）
∴PA=-PD/4
となるわけです。
ゆえにAP：PD＝1：4となります。

No.4 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/09/21 22:15

stripeさん、こんばんは。

ONEONEさんの完璧な回答がありますので、もう言うことなしなんですが、

＞点Pは動点なので、点Aを基準にして条件を書き直して、
-2AP+AB-AP+3(AC-AP)=0
∴AP=(AB+3AC)/6
ここまであっているかよくわからないのですが、

これ、私が以前位置ベクトルで考えよう！といったからでしょうか。
私は、位置ベクトルで考えるのが好きで、stripeさんの変形、OKですよ！
こう変形すると、＃３の回答のとおり、

AP=(AB+3AC)/6
また、ADはAPの実数倍（同じ直線上で、始点がAで同じ）
とかけますから、実数kを用いて
AD=kAP=k(AB+3AC)/6=(k/6)*AB+(k/2)*AC
のように、ADはABとACでもって表せます。
また、点DはBC上の点なので、BD:DC=m:(1-m)
とおくと、mは実数
AD=(1-m)*AB+m*AC
のようにかけます。
この２式から、k,mを消去していけばよい、というやり方になりますね。


位置ベクトルを使うと、上のようになりますが、
この三角形の内部の点を表すベクトルの式について、
参考になりそうなページがあるので、載せておきたいと思います。
ここの例では

2PA+3PB+4PC=0(０ベクトル）
となる場合を考えています。
このとき、APの延長線と、辺BCとの交点Dは
BCをどのようにない分するか、などが分かります。

ONEONEさんの＃１の回答のように、まずPAについて変形します。
PAを右辺に持っていきます。

3PB+4PC=-2PA
ここで、この両辺を７で割った式は

(3/7)PB+(4/7)PC=(-2/7)PA
　　　↑
この左辺は、Pを始点としBCを４：３に内分する点を表す。
BCを４：３に内分する点をDとすると

(3/7)PB+(4/7)PC=(-2/7)PA=PD
ですから、
｜AP|:|PD|=7:2
だということも分かりますね。

＃１でONEONEさんが、(PB+3PC)/(3+1)を作りだした、と書かれているのは、こういうことなんですね。

ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/iti/iti.htm

この回答へのお礼

どうもありがとうございます！
これをといてるときは位置ベクトルはあまり意識してなかったんですけど、
あれから位置ベクトルは使うようにしているので、あまり意しきしてなかったけどつかったのかもしれません！
でもこの問題の時はPを始点にしたほうがよいんですね～。
URLもPを基点にしてますね～。
よくわかりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2003/09/22 17:54

No.3 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/09/21 13:55

stripeさんの解き方で行くと

AD=kAP＝k(AB+3AC)/6　　とおけてまた
DがBCをm:1-mに内分するとして
AD=(1-m)AB＋mAC
と置けます。
AB、ACは一次独立なのでそれぞれの係数を比較し
1-m=k/6、m=k/2
∴k=3/2、m=3/4

AP=(2/3)AD
AP：AD＝2：3よりAP：PD＝2：1となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
わざわざ始点を動かさなくても解けたんですね～。
僕がやったやりかただと係数を比較したりしてとくんですね。
よくわかりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2003/09/22 17:43

No.2 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/09/21 13:45

訂正！

すごく間違えました。

＞∴PA=-PD/4
＞となるわけです。
＞ゆえにAP：PD＝1：4となります。

PA=-2PDでした。
∴AP：PD＝2：1