![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
(1)からの誘導問題である(2)の解説で分らない部分がありました。
{問題}
(1)x^4をx^2ーx-1で割ったときの商と余りを求めよ。
(2)x^8をx^2ーx-1で割ったときのあまりを求めよ。
{解説}
(2) (途中計算略)
x^4=(x^2-x-1)(x^2+x+2)+3x+2
この式の両辺を二乗して
x^8=(x^2-x-1)^2(x^2+x+2)^2+2(x^2-x-1)(x^2+x+2)(3x+2)+(3x+2)^2
よって
x^8をx^2ーx-1で割ったときの余は(3x+2)^2をx^2-x-1で割ったときの余りと等しい。
(3x+2)^2=9x^2+12x+4
・・・・・
(以下略)
と書いてあったのですが、どうして「x^8をx^2ーx-1で割ったときの余は(3x+2)^2をx^2-x-1で割ったときの余りと等しい。」ということが前の式からわかるのでしょうか?
見にくかったらごめんなさい; よろしくお願いします!=)
,
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Tacosanの仰るとおり自明ですが、
xの式だから分かりにくいのですかね…
(3x+2)^2をx^2-x-1で割った時の商がQ(x)、余りがR(x)とすると
(3x+2)^2=(x^2-x-1)Q(x)+R(x)
x^8=(x^2-x-1)^2(x^2+x+2)^2+2(x^2-x-1)(x^2+x+2)(3x+2)+(3x+2)^2
=(x^2-x-1)^2(x^2+x+2)^2+2(x^2-x-1)(x^2+x+2)(3x+2)+ Q(x)(x^2-x-1)+ R(x)
ということで
(3x+2)^2をx^2-x-1で割った時の余りR(x)と
x^8をx^2-x-1で割った時の余り(これもR(x))は一致します。
これで分からなければ
例えば、数字で考えてみましょう。
19 ÷ 5 と 19^2 ÷ 5を考える。
19 = 3*5 + 4
19^2 = (3*5+4)(3*5+4)
= (3*5)^2 + 8*(3*5) + 4^2(※)
= (3*5)^2 + 8*(3*5) + 3*5 + 1 …余り1
※がポイントなのですが、
(3*5)^2 + 8*(3*5)は5で割り切れるので余りは関係ないです。
残った4^2 = 16を5で割った余りが19^2÷5の余りとなります。
こんな感じでいかがでしょうか。
この回答への補足
初歩的な質問だったら、すみません。
掲示した問題からすると、19÷5の余りと19^2÷5の余りが等しくなるということですよね?19^2÷5の余りが1になることは分かったのですが、19÷5の余りが1になることがわかりません。
No.1
- 回答日時:
x^8=(x^2-x-1)^2(x^2+x+2)^2+2(x^2-x-1)(x^2+x+2)(3x+2)+(3x+2)^2
を見ればほとんど自明だよね. 右辺のうち x^2-x-1 の倍数と「見た目ではわからない」ところって, どこ?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 x^nを(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ 2 2022/04/23 16:08
- 数学 数II 剰余の定理と因数定理 整式P(x)をxで割った余りが-4,x-2で割った余りが7である。 P 2 2022/07/03 13:38
- 数学 この分かる方解説していただきたいです。 問題5.x^2+y^2+z^2≤9から円柱x^2+y^2≤1 1 2023/01/16 10:06
- 数学 数学の質問です。 x^2-(k+5)x+2k+ 6 < 0 ····· ② 2x^2-9x+4>0 7 2023/07/03 10:26
- 数学 f(x)=2x+∮(0~1)(x+t)f(t)dt を満たす関数f(x)を求めよ。 3 2022/07/05 22:54
- 数学 代数の質問です 2 2022/04/30 14:10
- 大学受験 合同式 1 2022/09/03 12:37
- 数学 中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1) 4 2022/08/01 10:19
- 数学 aを実数の定数とする。xの方程式 (x²+2x)²ーa(x²+2x)ー6=0 の異なる実数解の個数を 4 2023/02/13 23:15
- 数学 微分の問題です。 3 2022/07/30 16:43
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
小学校4年生の算数の教科書で...
-
190分はなん時間何分ですか?
-
これの求め方を教えて下さい!...
-
2は5で割り切れません。 あまり...
-
x³+1で割ると余りが2x+3であり...
-
0から9までの数字を使ってでき...
-
負の余りはあり得ますか?
-
解き方を教えてください。 中3...
-
〖エクセル〗MOD関数で、小さな...
-
小学算数の問題です
-
整数問題についてですが、 「正...
-
1000本のワインがあって、1つは...
-
1から9の数字を書いたカードが...
-
14n+52と4n+17の最大公約数が...
-
解いてください
-
因数分解~余りを求める問題です
-
場合の数 漏れなく数える方法
-
整式P(X)をX-2で割ると-3余...
-
6個の柿を3人に分ける場合の数
-
剰余演算子(%)を使用しないで余...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
小学校4年生の算数の教科書で...
-
190分はなん時間何分ですか?
-
ある整数を7ではると、商が10で...
-
数学の質問です。 下記の問いの...
-
2は5で割り切れません。 あまり...
-
解き方を教えてください。 中3...
-
負の余りはあり得ますか?
-
0から9までの数字を使ってでき...
-
下記数学Aの答えは36個ですが、...
-
高1数学Aの問題で、 「a、bは整...
-
10進法⇒2進法には何故2で割るか
-
これの求め方を教えて下さい!...
-
nが3の倍数でないとき
-
順列、組み合わせの問題です。 ...
-
4の100乗を、7で割った余りとい...
-
小学生への割り算の答えの確か...
-
1 から 9 までの数字を使って引...
-
〖エクセル〗MOD関数で、小さな...
-
1から9の数字を書いたカードが...
-
整式F(x)を x-1 で割ると5余り...
おすすめ情報