内分する点Pが描く図形

点(1,2,3)と球x^2+y^2+z^2=4上の各点を結ぶ線分を2:1に内分する点Pのえがく図形の方程式を求めよ。
という問題で、答えは球9x^2+9y^2+9z^2-6x-12y-18z-2=0になるそうです。

球上の任意の点(a,b,c)はP((2a+1)/3,(2b+2)/3,(2c+3)/3),など考えてはみたのですが、答えにたどり着けません。
ご回答よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/04/03 00:55

元の球面 x^2 + y^2 + z^2 = 4 は原点中心，半径2の球面であるから，この球面上の点Rの位置ベクトルをrで表すと，この球面のベクトル方程式は

|r| = 2.

点A(1,2,3)の位置ベクトルをa = (1,2,3)で表すと，線分AXを2:1に内分する点Pの位置ベクトルpは次のように表される：
p = (a + 2r)/3.

この式をrについて解くと，
r = (3/2)(p - a/3).

この式の大きさをとって
|r| = (3/2)|p - a/3| = 2
∴|p - a/3| = 4/3.

ベクトルpについてのこのベクトル方程式は
位置ベクトル a/3 = (1/3, 2/3, 1) で表される点を中心とする，半径4/3の球面を表す．
この球面の方程式は

(x - 1/3)^2 + (y - 2/3)^2 + (z - 1)^2 = (4/3)^2.

これを展開して分母を払うと，
9x^2 + 9y^2 + 9z^2 - 6x - 12y - 18z - 2 = 0.

この回答へのお礼

解けました。
みなさんありがとうございました。

お礼日時：2011/04/03 02:00

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/04/03 00:36

点Ｐの座標を（ｐ、ｑ、ｒ）とでもおいて、これが((2a+1)/3,(2b+2)/3,(2c+3)/3)と表せているので

ｐ＝（２ａ＋１）／３
ｑ＝（２ｂ＋２）／３
ｒ＝（２ｃ＋３）／３
これらをａ，ｂ，ｃについて解きます。・・・（あ）
（ａ，ｂ，ｃ）は球x^2+y^2+z^2=4上の点なのだから、（あ）の結果をａ＾２＋ｂ＾２＋ｃ＾２＝４に代入してやればｐ、ｑ、ｒについての式ができ、これが求める図形の式です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/03 00:29

「球上の任意の点(a,b,c)はP((2a+1)/3,(2b+2)/3,(2c+3)/3)」って, 日本語が破綻してるね.

この P を P(x, y, z) とおいて, a, b, c を x, y, z で表せばいいだけじゃないの?