中学2年生の数学の問題です

中学2年の数学の問題が分かりません！
課題で出されたのですが、予習の範囲なのでちんぷんかんぷんです。

問題1
2から50までの自然数の積は2のk乗で割りきれる。(kは自然数)
このようなkは何個あるか答えよ。

問題2
120の約数をすべてかけあわせると、120のa乗になる。このとき、aの値を求めよ。


どちらかだけでも構わないので、よろしくお願いします。

No.1 回答者： chibicute 回答日時： 2011/04/11 21:39

ヒントです！

問題１
2から50までの自然数の中に、2がどれくらい含まれるか考えればいいのです！
たとえば、2には2が1つ入っています。
4は2×2なので、2つですね。
10は2×5なので、1つです。
そういったふうに考えて（つまり素因数分解というやつですが）2が全部でいくつ含まれるか考えれば、2の何乗で割り切れるかわかります。

問題2
約数というのはですね、たとえば6の約数だと、1,2,3,6になりますね。
この4つの数字は、それぞれ両端の数字をかけていくと、1×6、2×3になります。
つまり約数は、2つずつの数字の積がその数になるのですよ。
このように考えると120はどうなるでしょう？？

わからなかったらまた聞いてくださいね(＾＾)

No.2 ベストアンサー 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/04/12 12:20

2のk乗のことを、2^kと書きます。

たとえば、48は、2(=2^1)でも割り切れるし、4(=2^2)でも割り切れるし、8(=2^3)でも割り切れるし、16(=2^4)でも割り切れます。32(=2^5)では割り切れません。

ここで、48を素因数分解してみると、48=2×2×2×2×3=2^4×3^1　です。
つまり、2^1、2^2、2^3、2^4では割り切れて、2^5では割り切れないのは、2が4つあるからなのです。

さて、2×3×4×・・・×48×49×50に、2はいくつ入っているか調べましょう。

まずは2の倍数(＝偶数)の個数は、50÷2＝25から、25個と解ります。
次に4の倍数の個数は、50÷4＝12.5から、12個。
8の倍数の個数は、50÷8＝6.25から、6個
16の倍数の個数は、50÷16＝3.125から、3個
32の倍数の個数は、50÷32＝1.5625から、1個
64の倍数の個数は、50÷64＝0.78125から、0個
よって、2から50までに含まれる2の数は、25＋12＋6＋3＋1＝47個。
ということで、kは47個ある。


120の約数をすべて出してみましょう。
その際に、約数×約数＝120という形で書いてみましょう。

1×120
2×60
3×40
4×30
5×24
6×20
8×15
10×12

これですべての約数が出ました。
約数をすべて掛け合わせるということは、以上の16個の約数をかけあわせることとなり、かけて120になる約数の組み合わせを8組掛け合わせることになります。
つまり、すべて掛け合わせると、120^8になるということです。