分数関数の不等式の問題なんですが解答お願いします

1/x-1≦1 です。よろしくお願いします

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数学 関数」に関するQ&A: 数学 関数

A 回答 (4件)

(1)x-1<0、つまりx<1のとき、両辺にx-1をかけるとx-1<=1


(2)x-1>0、つまりx>1のとき、両辺にx-1をかけるとx-1>=1
あとはご自分で。
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この回答へのお礼

親切な解答アリガトウございます。
答えが出せました。

お礼日時:2011/04/13 21:48

x-1の符号が不明なんで、両辺に(x-1)^2をかける。

これは正の数だから不等号の向きは変わりません。

与えられた不等式は (x-1)≦(x-1)^2 となるのがわかりますか?

ここまできたら普通に解きます。

(x-1)^2-(x-1)=(x-1)(x-1-1)=(x-1)(x-2)≧0

ここから先は判りますね…
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この回答へのお礼

解答アリガトウございます

お礼日時:2011/04/13 21:50

y = 1/(x-1), y = 1


これら2つのグラフを描いて求めるのが有力です。

数式処理だけで済ませるなら、両辺に (x-1)^2 をかけて2次不等式を解く。
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この回答へのお礼

解答アリガトウございます。

お礼日時:2011/04/13 21:45

x-1の符号で場合分けして両辺にx-1をかければ普通の不等式になります。

この回答への補足

答え教えてもらって良いですか?

補足日時:2011/04/13 21:23
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この回答へのお礼

解答アリガトウございます。

お礼日時:2011/04/13 21:46

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Q分数のついた一次不等式の解き方。

 初めてこちらで質問させて頂きます。

一次不等式に分数がついている問題は、どのように解けばよいのでしょうか?
問題は、1/6x+3<5/3  です。

このような場合、分数をどうすればいいのか分かりません。

何方か、宜しくお願いします。
     

Aベストアンサー

両辺に同じものをかけてあげればいいんです。
正数であれば両辺にかけてあげても不等式は成り立ちますよね?
負数であれば不等号の向きが逆になりますよね?

この場合は、6xをかけると分数はなくなりそうです。
xは正か負か分からないので2つのパターンを想定して解けば、xのとる範囲が絞られるはずです。

Q分数関数のグラフ

グラフを使って不等式を解け
(1)(2xー1)/xー1<x+1
(2)3x/x+2≧2x-1
分数関数の不等式が苦手です。。
解説お願いしますm(__)mm(__)m

Aベストアンサー

(1) 
(a) x-1>0(x>1)のとき
  2x-1<(x+1)(x-1)
  x(x-2)>0
 ∴x<0、2<x
  ただし、x>1なので、 x>2
(b) x-1<0(x<1)のとき
  2x-1>(x+1)(x-1)
  x(x-2)<0
 ∴0<x<2
  ただし、x<1なので、 0<x<1

 A. 0<x<1、2<x

(2) 上記(1)と同様に場合分けをして求めてください。
  x<-2、-1≦x≦1
 が求められると思います。


 ところで、2次不等式は大丈夫ですか?

Q高校数学の分数不等式について質問です

高校数学の分数不等式について質問です。

以下のような分数不等式の問題があります。

(x+1)(x-2)/x <0

テキストに、分母の2乗であるx2乗を両辺にかけると高次不等式として解ける。と書いてあります。

x2乗ではなく、ただのxをかけてはだめな理由を教えてください。

Aベストアンサー

そのまえに、中学一年で学んだ式の変形が身についていない。
中学校になって、引き算と割り算が、それぞれ足し算と掛け算に置き換わりましたね。
たとえば、x - 2 ≠ 2 - x ですが、x + (-2) = (-2) + x
 x ÷ 2 ≠ 2 ÷ x だけど、x × (1/2) = (1/2) × x
これで、交換、分配、結合で自在に変形できるようになった。
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄たとえ、正負のわからない未知数でも ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄

 さらに=の関係のある両辺に同じものを加減乗除しても=の関係は変わらない。
   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄たとえ、正負のわからない未知数でも ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
2x + y = 5
x + y = 3
だと、上式から下式を引くと
 2x + y = 5
-)_x_+_y = 3___
 x   = 2

中学一年の数学を徹底的に復習
  ここが自分のものになっていないからもここまで来て躓く。
移項処理は、両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらないという原理があるから

ところが、不等式の場合は、-1 をかけると<>が逆転します。
4 > 3
の両辺に、-1をかけると
-4 < -3

★分母の2乗であるx2乗を両辺にかけると高次不等式として解ける。
 xの正負がわからないときは、xが正の時と負の時に分けて考えなければならない。

ところが、x²はxの正負に限らず常に正なので

場合分けすれば、いずれでも解けますが、面倒くさくなる。

そのまえに、中学一年で学んだ式の変形が身についていない。
中学校になって、引き算と割り算が、それぞれ足し算と掛け算に置き換わりましたね。
たとえば、x - 2 ≠ 2 - x ですが、x + (-2) = (-2) + x
 x ÷ 2 ≠ 2 ÷ x だけど、x × (1/2) = (1/2) × x
これで、交換、分配、結合で自在に変形できるようになった。
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄たとえ、正負のわからない未知数でも ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄

 さらに=の関係のある両辺に同じものを加減乗除しても=の関係は変わらない。
   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄たとえ、正負のわからない未知数でも ̄ ̄...続きを読む

Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

単刀直入ですが,進研模試の対策をするために,進研模試の過去問を手に入れたいのですが,学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか? 勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが,レベル的にも難しすぎず簡単すぎず,良いと言われたので,何回分かの進研模試を解いてみたいと思い,このような質問をするに至ったのです。ご回答,よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ...続きを読む

Q実数に負の数と"0"は含まれる?

こんばんは。
初歩的な質問となるのですが、実数に負の数と"0"は含まれるのでしょうか?
お願いいたします。

Aベストアンサー

こんばんは。

こんな感じです。

A 自然数: 1,2,3、・・・
B ゼロ
C ゼロ以上の整数(ゼロと自然数): 0,1,2,3・・・
D 負の整数: ・・・、-3、-2、-1
E 整数 = C+D
F 正の小数、負の小数 (終わりの桁が存在する小数)
G 有理数: E+F + 循環小数(分母と分子を整数とした分数で表すことができる数)
H 無理数: √2、π、e など、循環小数ではない小数
I 実数: G+H
J 複素数: 実数a、bと虚数単位iを用いて a+bi の形になる数
K ベクトル
L 行列


というわけで、負の数とゼロは実数に含まれます。

Q数学IIIの増減表について質問があります。

こんにちは。高校数学IIIの増減表について質問があります。
今まで、数学IIの増減表の第一次導関数f '(x)についてf '(x)=0の前後の+or-の符号を求める際にその間に具体的な値をf'(x)に代入して求めていたのですが、数学IIIの増減表のf '(x)は高次式や√の多項式、三角関数など直接計算して求めていては時間がかかるものばかりです。そこで以前、学校の数学IIIの授業で先生が「f '(x)=0となるxの値の前後の符号は一番右に最高次の符号を書いて後は+と-を交互に書きなさい。」と教えてもらった通りにやってみたのですが解答と異なる増減表がたまにできてしまいます。例えばf '(x)=0の前後で同符号が続くものなどです。また三角関数にはこの方法は応用できませんでした。そこで、この、増減表のf '(x)の+-の符号を計算せずにすばやく求めることができる厳密な公式等がございましたらどなたか、教えてください。

Aベストアンサー

公式などはないですが、符号判断を早くするスキルを教えておきますね。

普通に説明していては分かりにくいで例を出したいと思います。

例 f '(x)=e^x(x^2+1)(x^2-2)/(x-3) の+-を調べる。

まず最初に、式を分解、というか、掛け算、割り算されているものをそれぞれ分けてから、+-を考えます。今回は

e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)

のように分けて、1個ずつ符号を考えます。
e^xはどんなxについても常にe^x>0です。つまりずっと+です。
(これは最低限の知識です)

(x^2+1)はこれもわかると思いますが、x^2は常に0以上の数になるので、それに1を足したx^2+1はずっと+です。

x^2-2は因数分解できます。(x-√2)(x+√2)ですね。
2次式なら不等式を使って+-を判断できます。
(x-√2)(x+√2)<0 →-√2<x<√2
(x-√2)(x+√2)>0 →x<-√2、√2<x

つまり-√2<x<√2で符号は-、x<-√2、√2<xで+です。

面倒ならx-√2とx+√2をさらに分けて考えて、
x-√2 →xが√2より大なら+、小なら-
x+√2 →xが-√2より大なら+、小なら-
としてもいいです。

そして最後に
(x-3) →xが3より大なら+、小なら-
ですね。
ただしここで注意があります。
(x-3)は分数の分母にあるので、0になってはいけません。
なので増減表の f '(x)でx=3の所には斜線を引きます
(x=3でf '(x)の値は無い)。


これでそれぞれの+-を調べ終えました。ここからが本番です。
これらをまとめて、f '(x)の符号がどのようになるか考えます。

分かりやすくするために表にまとめてみましょう。
どのような表かというと、増減表と同じような形で、
一番上にxを書き、
それより下の段(増減表でf '(x)やf (x)を書く部分)は
さっきバラバラにした
e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)
を書いてやります。
そして、増減表のf '(x)の+-を書くときのように、
それぞれの欄に+-を書きます。
(x-3)でx=3の所には斜線を引くのに注意です。

あとは簡単。f '(x)はこれらの式の掛け算(割り算)なのですから、
書いてある+-を掛け算して、表の1番下に書いてやりましょう。

例えばxが√2…3の…部分では
e^x     +
(x^2+1)   +
(x^2-2)   +
(x-3)    -

となってるはずですから、符号を全部掛け算すると-になります。
このようにして1番下に掛け算の結果を書いていきましょう。
0を掛け算するときはもちろん0に、
掛け算に斜線/があるときは1番下も斜線にします。

このようにして1番下に書いた+-が
増減表に書くf '(x)の+-になります。

質問者さんが困っている
高次式や√の多項式、三角関数

については、

高次式  →できる限り因数分解をする
√の多項式→普通の√ならずっと+になるので計算の必要なし
      
3乗根、4乗根…の場合は、
n乗根のnが偶数→ずっと+なので計算必要なし
nが奇数→中身の+-が√を付けた後の+-と一緒なので、中身の+-を考えればよい。

三角関数 →どの角度の範囲で+、-になるかはわかると思うので、それに気をつけて表に書く

ことで対処できると思います。

あと注意点としては、
全体のf '(x)の式に-が掛け算されているときに、それを忘れないことです。

慣れてきたら
e^x     
(x^2+1)   
は+-を考えるときの表からはずしてしまいましょう。
常に+のやつは+-を考えるときに必要ないのはやれば分かると思います、+を掛け算しても符号は変わりませんからね。


最初は時間がかかるかもしれませんが、
練習を積み重ねて、スピードをあげていけば速くなります。
頑張ってください。

公式などはないですが、符号判断を早くするスキルを教えておきますね。

普通に説明していては分かりにくいで例を出したいと思います。

例 f '(x)=e^x(x^2+1)(x^2-2)/(x-3) の+-を調べる。

まず最初に、式を分解、というか、掛け算、割り算されているものをそれぞれ分けてから、+-を考えます。今回は

e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)

のように分けて、1個ずつ符号を考えます。
e^xはどんなxについても常にe^x>0です。つまりずっと+です。
(これは最低限の知識です)

(x^2+1)はこれも...続きを読む

Q分母が文字の分数を微分する方法を教えてください。

分母が文字の分数を微分する方法を教えてください。


8/xを微分すると、-8/x二乗になるようなんですけど、なぜそうなるのか教えてください。

数学は大の苦手なので、分かりやすくお願いします:(;゛゜'ω゜'):

Aベストアンサー

x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるというのは習ったと思いますが、
それを利用します
(ちなみに記号^は累乗の記号です。a^bは「aのb乗」を意味します)。

8/x = 8x^(-1)と変形して、無理矢理x^nの形に直します。
x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるので、
x^(-1)をxで微分すると-x^(-2)となります。
よって8x^(-1)をxで微分すると-8x^(-2) = -8/(x^2)となります。

Q無限級数の和を求める問題で部分和の考え方につまづいています

質問したい数学の問題を
http://goukaku-ch.com/wp/wp-content/uploads/2016/01/mugen_bubunwa.pdf
にPDFでアップしました。

この上部の枠に囲まれた問題のうち、(1)はわかりますが(2)がわかりません。


問題のすぐ下の「指針」の(2)に、
「部分和S_(2n-1), S_(2n)はすぐにわかるが、S_nを1つの式に表すのは難しい」
とありますが、
S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか?
(「奇数番目の項の総和」+「偶数番目の項の総和」と考えました。)

そして、その2行目下の太字に、

「lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならばlim_n→∞ S_(n)=S」
とありますが、
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=Sならば
lim_n→∞ S_(n)=lim_n→∞ S_(2n-1)+lim_n→∞ S_(2n)=S+S=2S
ではないのでしょうか?

そしてその下の
「lim_n→∞ S_(2n-1)≠lim_n→∞ S_(2n)ならばS_(n)は収束しない」というのがなぜなのかわかりません。

≠のときでも2Sに収束するように思えてしまいます。
===
自分の考えでいくと(2)の答案部分で、
最終行から2行めは
lim_n→∞ S_(2n-1)=lim_n→∞ S_(2n)=1であるからlim_n→∞ S_(n)=1
ではなく、lim_n→∞ S_(n)=1+1=2
と考えてしまいます。考え方のどこが間違っているのでしょうか?
+++++++++++++++++

<追加質問>
問題の下の「指針」の(1)に
「【注意】無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない」
とありますが、部分和が無限になるような無限級数とはたとえばどのようなものなのでしょうか?
例をあげていただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

質問したい数学の問題を
http://goukaku-ch.com/wp/wp-content/uploads/2016/01/mugen_bubunwa.pdf
にPDFでアップしました。

この上部の枠に囲まれた問題のうち、(1)はわかりますが(2)がわかりません。


問題のすぐ下の「指針」の(2)に、
「部分和S_(2n-1), S_(2n)はすぐにわかるが、S_nを1つの式に表すのは難しい」
とありますが、
S_n=S_(2n-1)+ S_(2n) と表すのは間違っているのでしょうか?
(「奇数番目の項の総和」+「偶数番目の項の総和」と考えました。)

そして、その2行目...続きを読む

Aベストアンサー

日本語の理解の問題です。

部分和Sη は有限であるから,項の順序を変えて和を求めてもよい。
図目 無限の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない。

の意味は、
たとえばシグマを使って和を表すときに

Σ
k=1

で、S_(n)


Σ
k=1

で、無限個の要素の和を表したとする。
下のような場合には、項の順序を勝手に変えてはいけない。
という意味です。

さらに、
収束の理解ですが、
S_(m)→S  (m→∞)

については、
mが大きくなれば部分和がSに近づくことを意味します。

ただし、数列の性質から部分和の表現が面倒なので
mが偶数の場合には部分和がSに近づく。
mが奇数の場合にも部分和がSに近づく。
この二つから、
mが偶数でも、奇数でもどちらの場合でもmが大きくなれば部分和がSに近づく。
したがって、mがどんな自然数でも、それが大きくなれば部分和がSに近づくことになります。
理由は、自然数には偶数と奇数しかないからです。

といっているのです。

Q溶液の温度変化による結晶の析出量の公式

x=析出量、b=溶液の量、S=温度変化まえの溶解度、S`=温度変化後の析出量
とすると、x/b=(S-S`)/(100+S)
となると書いてあったんですが、この公式がいまいち理解できません
また、同様に溶媒量をaとすると、
x/a=(S-S`)/100
となるのも理解に苦しんでいるので、ぜひ何故このようになるのか
教えていただけませんでしょうか?

Aベストアンサー

S'は温度変化後の溶解度、の誤りでしょう。
溶解度がSであるということは、「水100gに対して物質がSgだけ溶ける」ということです。
これを踏まえて、具体的な数字を用いて考えてみましょう。

例えば、80℃で溶解度が50、20℃で溶解度が30である溶質があったとしましょう。
これを、水100gを基準にして考えてみると、80℃では50gまで溶かせますよね。つまり、
80℃では溶液は150g(=100+50)ですよね。では、これを20℃まで冷やしてみましょう。
すると、20℃では溶質は30gまでしか溶かせないので、50-30=20gが析出します。
この現象は、
『溶液100+50=150gに対して、50-30=20gの溶質が析出する』
ということですよね。これを
『溶液bgに対して、xgの溶質が析出する』
という形に置き換えて考えてみましょう。すると、上と下の関係は同等です。
そこで、両者の比を取ってみましょう。
(100+50):(50-30)=b:x
左辺は溶液150gの場合、右辺は溶液bgの場合です。

さて、本題では50g=S、30g=S'でしたから、この比の式は
(100+S):(S-S')=b:x
と変形できるので、内項、外項をとって整頓すると、
x/b=(S-S')/(100+S)
が導出されます。

上の解法では、溶液を基準に考えました。しかし、これを溶媒(=水)を基準に考えても
計算できるのです。つまり、
『水100gに対して、50-30=20gが析出する』=『水agに対して、xgが析出する』
このように考えて、両者の比を取ってあげましょう。すると、
100:(50-30)=a:x
→100:(S-S')=a:x
→x/a=(S-S')/100
が導出されます。

S'は温度変化後の溶解度、の誤りでしょう。
溶解度がSであるということは、「水100gに対して物質がSgだけ溶ける」ということです。
これを踏まえて、具体的な数字を用いて考えてみましょう。

例えば、80℃で溶解度が50、20℃で溶解度が30である溶質があったとしましょう。
これを、水100gを基準にして考えてみると、80℃では50gまで溶かせますよね。つまり、
80℃では溶液は150g(=100+50)ですよね。では、これを20℃まで冷やしてみましょう。
すると、20℃では溶質は30gまでしか溶かせないので、50-30=20gが析出...続きを読む

Q無限等比級数って?

 今、学校の選択授業で無限等比級数について
調べています.....が、なかなかコレがどういう
ものなのか理解できません。無限等比級数が何なのか、
教えてください!

Aベストアンサー

きっと今テスト前なんですよね?
無限等比級数について、教科書とかぶるかもしれませんが書いてみます。
まず、等比数列はOKですか?

初項がaで、公比がrの場合、第n項はar^(n-1)
になるっていう・・
これは数Aの範囲ですので、もしこれがOKでなかったら教科書で確認してください。

無限等比級数は、この等比数列が無限に続いていて、各項をすべて足してしまいましょうというものです。

なので、
S=a+ar+ar^2+ar^3+.....
となりますね。
等比数列の各項を永遠に足すのです。
ここで、無限等比級数をSとおきましたが、これを求めるには、Sにrをかけたものを作ってみましょう。
Sr=ar+ar^2+ar^3+......
SとSrを比べると。。
Sの第2項以降がSrと一緒になっていますね。
無限の世界で考えているので、Sの第2項以降とSrはまったく一緒と考えてしまって問題ありません。

そこで、S-Srを行うと・・
(1-r)S=a
となるので、
Sすなわち等比級数はa/(1-r)
となるのです。

きっと今テスト前なんですよね?
無限等比級数について、教科書とかぶるかもしれませんが書いてみます。
まず、等比数列はOKですか?

初項がaで、公比がrの場合、第n項はar^(n-1)
になるっていう・・
これは数Aの範囲ですので、もしこれがOKでなかったら教科書で確認してください。

無限等比級数は、この等比数列が無限に続いていて、各項をすべて足してしまいましょうというものです。

なので、
S=a+ar+ar^2+ar^3+.....
となりますね。
等比数列の各項を永遠に足すのです。
こ...続きを読む


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