ベクトルの最大値

赤字の考え方が分かりません。
なぜこういう考え方ができるのか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/04/17 03:33

赤い文字で書かれた変形をするのは、| a－3b |^2 を計算しやすくするためです。

具体的には、ベクトルの内積を利用します。
| a－3b |^2 = | a |^2－6 a・b + 9 | b |^2 と変形しても、それ以上先に進めません。
| a－3b |^2 = | s (a + 2b) + t (2a + b) |^2 と変形すれば、後の計算は非常に楽です（もちろん、s と t の値は求めておく必要があります）。

実数 s, t を用いて a－3b = s (a + 2b) + t (2a + b) と表せるとしても、a + 2b と 2a + b が線形独立であるとは限りません。
また、a + 2b = k (2a + b) を変形すると、
(2k－1) a + (k－2) b = 0 となりますが、
この問題では a と b が線形独立であるという条件が与えられていないので、
2k－1 = k－2 = 0 が成り立つ必要はありません。

どうしてこういうことを強調するかというと、a + 2b と 2a + b が線形独立だと決め付けてしまうと、この問題の正解を求める際に不都合が生じるかもしれないからです。
a + 2b と 2a + b のなす角をθとするとき、cosθ≠±1 と断定してよいかどうか、じっくり考えてみてください。

この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/17 09:14

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/04/17 01:20

こんばんわ。

a→+ 2b→や 2a→+ b→は、問題でその大きさが与えられているベクトルですね。
これらを用いて表しておけば、大きさの 2乗の計算が楽になります。

これらの 2つのベクトルが「1次独立であること」が言えれば、平面上において
a→- 3b→＝ s*(a→+ 2b→)+ t*(2a→+ b→)　（s, t：実数）

と表すことができます。
なので、いきなり赤字の部分にいく前に、
a→+ 2b→と 2a→+ b→が 1次独立であることを示した方がいいかと思います。
a→+ 2b→＝ k*(2a→+ b→)とでもおいて、これを満たす実数：kが存在しないことを言えればいいです。
（大きさが 1であると言われているので、零ベクトルになることはないですね）