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1.いろいろの多角形につて、2つのちょうてんを結んだときのにできる線分の本数と多角形の関係を
  調べた。次の表はこのときの結果の一部を示したものである。問い1.1.と1.2.に答えなさい。
  多角形の種類| 三角形 | 四角形 | 五角形 | 六角形 | ・・・
  ――――――+――――+――――+―――――+―――――+――――
  線分の本数 |  3    |   6  |  10  |  15   | ・・・

1.1.八角形のとき、2つの頂点を結んだときにできる線分の本数を求めなさい。

1.2.n角形のとき2つの頂点を結んだときに出来る線分の本数を、nを用いて表しなさい。

以上の問題を、中学生の知識で説く方法を教えてください。

A 回答 (4件)

多角形は凸多角形だと勝手に解釈して、



頂点の中から2点を選べば直線が1つ決まるので、
得られる直線の数は、頂点の数から2つ選ぶ組み合わせの数と等しい。

組み合わせの数はまだ習ってない?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

組み合わせの数は習っていました。最初から、そのように考えると、シンプルですね。
なお、問題に明記されていませんが、多角形は凸多角形です。凹多角形では、3つ以上の頂点が直線状に位置する場合などは、線分(の本数が減少しますね。

お礼日時:2011/04/18 18:06

寧ろ、三角形とか四角形で考えるから分かりにくいんじゃないかと思う。


存在する複数の点の個数として考えた方が分かりやすい。

例えば点が4つある場合で考えましょう。

1.一つの点から「他の」三つに線を引く事ができる。
2.そして、それが点の個数だけのパターンが存在する。
3.最後に線分ABとBAは同一なので、総個数の半分という事になる。

これと同様に点がn個の場合、(1)で(n-1)、(2)でn、(3)でその半分、
全てを掛け合わせれば、n(n-1)/2となります。

3,6,10,15で考えると数列とか組み合わせとかに及ぶかもしれないが、
事の本質を直視して考慮すれば、小学生レベルでも問題を解くのは可能です。
実際、私立中学の入試問題で見た事があるような気がします。

ファイト!
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1つの頂点から、それ以外の頂点に線を引くと、(n-1)本の線が引ける。


すべての頂点について、同じことをやると、(n-1)×n本の線が引ける。
だけど、すべての線は、行きと帰り?で2回ずつ書いてるから、2で割ると、(n-1)×n÷2本ということになる。

三角形:(3-1)×3÷2=2×3÷2=3
四角形:(4-1)×4÷2=3×4÷2=6
五角形:(5-1)×5÷2=4×5÷2=10
六角形:(6-1)×6÷2=5×6÷2=15

この計算式だと、与えられた値とも合う。

八角形:(8-1)×8÷2=7×8÷2=28



ただ、この問題の場合、最初は表の
3、6、10、15
という値から規則性を見つけさせたいみたいですね。

三角形→四角形:3→6:+3
四角形→五角形:6→10:+4
五角形→六角形:10→15:+5
このことから、増える量が1ずつ大きくなっているので、
六角形→七角形:15→21:+6
七角形→八角形:21→28:+7

という方法で、28という数字を出させたいようです。

1.1.の結果からどういう流れで1.2.を解くのかはよく解りませんが。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
実は、幾何学的とき方で、多角形のある頂点から、他の頂点に引くことが出来る線分は、辺と、対角線があり、辺は、n角形の場合n本、対角線は、自分自身の点と両隣の店には引くことが出来ないこと、n角形には、n個の頂点があり対角線は各頂点から引くことが出来るが、ある点から別の点への対角線は、反対方向でも同じ対角線となるため、対角線は、n(n-3)/2本、辺がn本と考え、線分の本数はn(n-3)/2+n=n(n-1)/2であることは、わかりました。
しかし、これでは問題に表が存在しており、1.1.から1.2.への流れが、回答に反映されていないように思いました。

お礼日時:2011/04/18 11:30

1.1 並びをみると、線分の本数の増え方は 3,4,5、、、と増えています。


そう考えると七角形は六角形の線分の本数に6を足した数で、21に。八角形はそれに7を足した28であると考えられます。

1.2 表を見ると、六角形の線分の本数は六角形(6)×五角形(5)÷2 の値です。
五角形は 5×4×(1/2)=10 これをnに置き換えると、n・(n-1)÷2 で表せます。

検算で八角形は 8×7÷2=28
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
1.1.回答方法は、表を利用し、中学生らしい、規則性の推測から、回答を求め、検算することが出来る模範解答と思います。

1.2.の回答で「六角形の線分の本数は六角形(6)×五角形(5)÷2 の値です。五角形は 5×4×(1/2)=10 これをnに置き換えると、n・(n-1)÷2 で表せます。」というところが、なぜ、このように規則性を推定できたのかが、わかりません。この、なぜの部分をもう少し、解説していただけますか。
よろしくお願いします。

お礼日時:2011/04/18 11:29

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次の部分を
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)
 y1==y2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


次のようにご訂正ください。
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)'へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)'
 (x3-x1)*(y4-y1)-(y3-y1)*(x4-x1)==0のとき(3)へ
 その他のとき 線分AB、CDは共有点をもたない。

関数の終り

(3)
 x1==x2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


以上

No.4,5のhogehoge2です。何度もすみません。
間違っていましたので、訂正いたします。

次の部分を
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)
 y1==y2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


次のようにご訂正ください。
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)'へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)'
 (x3-x1)*(y4-y1)-(y3-y1)*(x4-x1)==0のとき(3)へ
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与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
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ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

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そんな本があったら、ベストセラーになっているでしょう。

「中身は理解していて、整理・復習のために概観したい」ということですか?
単に「単元」の羅列でよいなら、本というよりもこんなサイトの「目次」でどうですか?

↓ 中学数学
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↓ 高校数学
http://examist.jp/category/mathematics/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6_(%E6%95%99%E7%A7%91)


「中身・解説も含めて概観」というのであれば、こんなのもでしょうか? 私は読んでいないので何とも評価できませんが。
https://www.amazon.co.jp/%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E3%83%BB%E9%AB%98%E6%A0%A16%E5%B9%B4%E5%88%86%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%8C10%E6%97%A5%E9%96%93%E3%81%A7%E8%BA%AB%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%8F%E6%9C%AC-%E9%96%93%E5%9C%B0-%E7%A7%80%E4%B8%89/dp/4756918670/ref=sr_1_15?ie=UTF8&qid=1477007440&sr=8-15&keywords=%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E9%AB%98%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6

中学、高校はレベルが違いすぎるので、分けて考えた方がよいでしょう。
中学は対象・範囲が決まっているので、たくさんあるようです。
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Q心拍数は絶対120より上げないほうがよいのですか?

また、質問させて下さい。
現在、8月頃の子供とのプールへの為に
ある程度見た目を良くしたくてジム通いをしています。
主に機械を使ったウォーキングとプールでの水泳です。
それで、ウォーキングなんですが
始めた頃は心拍数が160とかでハァハァしながら汗ダクダクで歩いていましたが
最近は運動になれてきたせいか
心拍数が130前後で鼻で息をしてても苦しくなく、汗も大してかかなくなりました。

ここの質問の回答のリンク先をいろいろ読んでると
心拍数が120以上になると無酸素運動になってしまい
脂肪燃焼効率が悪くなる様な事が書いてありました。

そこで質問なのですが
負荷を落として120前後にする。
このまま続けて体を慣らして120になるまで待ち、120になったら同じ負荷で続ける。
心拍数は無視して負荷を増してハァハァ言う状態で続ける。
のどの方法がいいのでしょうか?
全く考え方が違っている場合は
正しいと思われるアドバイスを頂けるととても助かります。
今は、鼻で息をしても苦しくなく、汗も大してかかなくなってしまったので
心拍数は130前後ですが、なんとなく、だらだら歩いている状態と
同じような感覚で、脂肪が燃えているのかな?っと不安な感じです。

また、質問させて下さい。
現在、8月頃の子供とのプールへの為に
ある程度見た目を良くしたくてジム通いをしています。
主に機械を使ったウォーキングとプールでの水泳です。
それで、ウォーキングなんですが
始めた頃は心拍数が160とかでハァハァしながら汗ダクダクで歩いていましたが
最近は運動になれてきたせいか
心拍数が130前後で鼻で息をしてても苦しくなく、汗も大してかかなくなりました。

ここの質問の回答のリンク先をいろいろ読んでると
心拍数が120以上になると無酸素運動になってしまい...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。だいたい皆さんが言われてる通りですが、少し補足します。
同じ運動、たとえばウォーキングで、運動強度が低い時は有酸素運動ですが、高くなってくると無酸素運動に移行します。この境界をLT値またはAT値と呼び、簡易な指標として心拍数が使われます。LT値を境にエネルギー源として糖より脂肪がより多く使われるようになるので、脂肪を効率的に燃焼させるためには確かに有酸素運動の範囲内にしておくことが有利です。しかしLT値は年齢差・体力差・男女差・個人差があり、心拍数130でLT値を超えてしまう人もいれば160でも有酸素運動という人もいます(LT値は計測できますがけっこう面倒です)。前の回答者さんの言われる「ややきついが、続けられる」という運動強度がだいたいLT値と見なされています。いずれにしても、心拍数が120以上だと誰でも無酸素運動になるということは全くありません。
質問者さんの場合、最初はハアハアいうような無酸素運動だったのが、だんだん体力がついて身体の代謝機能が改善されてきて、同じ強度の運動でも今では有酸素運動になっていると思います。このまま心拍数130前後の運動を継続してかまいませんが、物足りなさを感じるようなら、前の回答者さんの言うように少し(心拍数135~140くらいまで)強度を上げてもいいと思います。またこう説明すると「じゃあLT値ギリギリの強度でないと効果がないのか」と思われるかも知れませんが、競技スポーツならともかく「見た目をよくする」のが目的なら、LT値まで強度を上げる必要はありません。安心して「ゆっくり、長~く」の運動を続けてください。

こんにちは。だいたい皆さんが言われてる通りですが、少し補足します。
同じ運動、たとえばウォーキングで、運動強度が低い時は有酸素運動ですが、高くなってくると無酸素運動に移行します。この境界をLT値またはAT値と呼び、簡易な指標として心拍数が使われます。LT値を境にエネルギー源として糖より脂肪がより多く使われるようになるので、脂肪を効率的に燃焼させるためには確かに有酸素運動の範囲内にしておくことが有利です。しかしLT値は年齢差・体力差・男女差・個人差があり、心拍数130でLT値を...続きを読む

Q数直線上の2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P。

数直線上の2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P。ただし、m>0,n>0とする。
点Pの座標はna+mb/m+n

a<0,b<0やa<0,b>0の場合も成り立つんですか??またそう言える理由を論理的にできるだけ分かり易く教えて下さい

Aベストアンサー

a<bのときは、aにABの距離のm/(m+n)倍を足せばよく、a>bの時はaからABの距離のm/(m+n)倍を引けばよいことになります。
距離は前者の場合はb-aであり、後者の場合はa-bですから、前者では足し、後者では引くので結局両者は同じ式になります。


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