1.いろいろの多角形につて、2つのちょうてんを結んだときのにできる線分の本数と多角形の関係を
  調べた。次の表はこのときの結果の一部を示したものである。問い1.1.と1.2.に答えなさい。
  多角形の種類| 三角形 | 四角形 | 五角形 | 六角形 | ・・・
  ――――――+――――+――――+―――――+―――――+――――
  線分の本数 |  3    |   6  |  10  |  15   | ・・・

1.1.八角形のとき、2つの頂点を結んだときにできる線分の本数を求めなさい。

1.2.n角形のとき2つの頂点を結んだときに出来る線分の本数を、nを用いて表しなさい。

以上の問題を、中学生の知識で説く方法を教えてください。

A 回答 (4件)

多角形は凸多角形だと勝手に解釈して、



頂点の中から2点を選べば直線が1つ決まるので、
得られる直線の数は、頂点の数から2つ選ぶ組み合わせの数と等しい。

組み合わせの数はまだ習ってない?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

組み合わせの数は習っていました。最初から、そのように考えると、シンプルですね。
なお、問題に明記されていませんが、多角形は凸多角形です。凹多角形では、3つ以上の頂点が直線状に位置する場合などは、線分(の本数が減少しますね。

お礼日時:2011/04/18 18:06

寧ろ、三角形とか四角形で考えるから分かりにくいんじゃないかと思う。


存在する複数の点の個数として考えた方が分かりやすい。

例えば点が4つある場合で考えましょう。

1.一つの点から「他の」三つに線を引く事ができる。
2.そして、それが点の個数だけのパターンが存在する。
3.最後に線分ABとBAは同一なので、総個数の半分という事になる。

これと同様に点がn個の場合、(1)で(n-1)、(2)でn、(3)でその半分、
全てを掛け合わせれば、n(n-1)/2となります。

3,6,10,15で考えると数列とか組み合わせとかに及ぶかもしれないが、
事の本質を直視して考慮すれば、小学生レベルでも問題を解くのは可能です。
実際、私立中学の入試問題で見た事があるような気がします。

ファイト!
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1つの頂点から、それ以外の頂点に線を引くと、(n-1)本の線が引ける。


すべての頂点について、同じことをやると、(n-1)×n本の線が引ける。
だけど、すべての線は、行きと帰り?で2回ずつ書いてるから、2で割ると、(n-1)×n÷2本ということになる。

三角形:(3-1)×3÷2=2×3÷2=3
四角形:(4-1)×4÷2=3×4÷2=6
五角形:(5-1)×5÷2=4×5÷2=10
六角形:(6-1)×6÷2=5×6÷2=15

この計算式だと、与えられた値とも合う。

八角形:(8-1)×8÷2=7×8÷2=28



ただ、この問題の場合、最初は表の
3、6、10、15
という値から規則性を見つけさせたいみたいですね。

三角形→四角形:3→6:+3
四角形→五角形:6→10:+4
五角形→六角形:10→15:+5
このことから、増える量が1ずつ大きくなっているので、
六角形→七角形:15→21:+6
七角形→八角形:21→28:+7

という方法で、28という数字を出させたいようです。

1.1.の結果からどういう流れで1.2.を解くのかはよく解りませんが。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
実は、幾何学的とき方で、多角形のある頂点から、他の頂点に引くことが出来る線分は、辺と、対角線があり、辺は、n角形の場合n本、対角線は、自分自身の点と両隣の店には引くことが出来ないこと、n角形には、n個の頂点があり対角線は各頂点から引くことが出来るが、ある点から別の点への対角線は、反対方向でも同じ対角線となるため、対角線は、n(n-3)/2本、辺がn本と考え、線分の本数はn(n-3)/2+n=n(n-1)/2であることは、わかりました。
しかし、これでは問題に表が存在しており、1.1.から1.2.への流れが、回答に反映されていないように思いました。

お礼日時:2011/04/18 11:30

1.1 並びをみると、線分の本数の増え方は 3,4,5、、、と増えています。


そう考えると七角形は六角形の線分の本数に6を足した数で、21に。八角形はそれに7を足した28であると考えられます。

1.2 表を見ると、六角形の線分の本数は六角形(6)×五角形(5)÷2 の値です。
五角形は 5×4×(1/2)=10 これをnに置き換えると、n・(n-1)÷2 で表せます。

検算で八角形は 8×7÷2=28
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
1.1.回答方法は、表を利用し、中学生らしい、規則性の推測から、回答を求め、検算することが出来る模範解答と思います。

1.2.の回答で「六角形の線分の本数は六角形(6)×五角形(5)÷2 の値です。五角形は 5×4×(1/2)=10 これをnに置き換えると、n・(n-1)÷2 で表せます。」というところが、なぜ、このように規則性を推定できたのかが、わかりません。この、なぜの部分をもう少し、解説していただけますか。
よろしくお願いします。

お礼日時:2011/04/18 11:29

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次の部分を
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)
 y1==y2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


次のようにご訂正ください。
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)'へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)'
 (x3-x1)*(y4-y1)-(y3-y1)*(x4-x1)==0のとき(3)へ
 その他のとき 線分AB、CDは共有点をもたない。

関数の終り

(3)
 x1==x2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


以上

No.4,5のhogehoge2です。何度もすみません。
間違っていましたので、訂正いたします。

次の部分を
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)
 y1==y2のとき(4)へ
 その他のとき(5)へ
----------------------------------------


次のようにご訂正ください。
----------------------------------------
(2)
 det==0のとき(3)'へ
 その他(else)のとき(6)へ

(3)'
 (x3-x1)*(y4-y1)-(y3-y1)*(x4-x1)==0のとき(3)へ
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Q数学 規則性をみつけるためには

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Q規則性

http://met.chu.jp/test/iq.htm
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7の答はa
10の答はa
12の答はb
となっているようですが、規則性がよく分かりません。

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宜しくお願いします。

Aベストアンサー

7,10,12の解答です。他の方とは別解にしてみました。


7)
 横方向に3マスをひと段として、上、中、下段と分けます。その時、上段、中段の白の数、黒の数の総和は4ずつとなる。
 下段でその規則を破らないのはaのみ


10)
 同様にして、各段に分けて考える。
 添付した図のように、上、中段ともに、「左のマスの上部」、「真ん中のマスの下部」をつなげて右のマスの図形としている。
 下段でその規則を破らないのはaのみ


12)
 同様に、各段に分けて考える。
 「マスの向き」に着目し、左、下、右をそれぞれ赤、青、緑で塗り分けた。
 各段の「マスの向き」の順序を一段目と統一すると、「?」のマスは下向きであることが予測される。
 ここで選択子がb,cに絞られる。
 さらに、並べ替えた後、黒の長方形の縦向きの規則(図の黄色の線に沿った規則)に着目すると、「?」のマスは、黒の長方形の面積が1で、左側にくると分かる。
よってbになる。
 あるいは面積が3の長方形が各色3個ずつになるように考えてもよい。
 もちろんそれらを同時に満たすと考えれば、選択子を見ずに、bと同じものを完璧に予測することが可能である。

コメント
7問目については私の回答は不完全です。なぜなら、白と、黒の数しか分からず、その配置がわからないからです。
他の方の解答のように、「白、黒、空白の3つに着目し、図形を重ねたとき、そこに現れなかったものを置く」という解答が模範的だと思います。
ちなみにこれは私には発想できませんでした(笑)。

7,10,12の解答です。他の方とは別解にしてみました。


7)
 横方向に3マスをひと段として、上、中、下段と分けます。その時、上段、中段の白の数、黒の数の総和は4ずつとなる。
 下段でその規則を破らないのはaのみ


10)
 同様にして、各段に分けて考える。
 添付した図のように、上、中段ともに、「左のマスの上部」、「真ん中のマスの下部」をつなげて右のマスの図形としている。
 下段でその規則を破らないのはaのみ


12)
 同様に、各段に分けて考える。
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Q【数学】中学入学から高校卒業までで習う数学を一覧で学んで行ける本を探しています。 ありますか?

【数学】中学入学から高校卒業までで習う数学を一覧で学んで行ける本を探しています。

ありますか?

「この数式はこういう意味だ」という風に順序良く学んで行ける一覧タイプの本が欲しいです。

そして名著であることが条件です。

Aベストアンサー

そんな本があったら、ベストセラーになっているでしょう。

「中身は理解していて、整理・復習のために概観したい」ということですか?
単に「単元」の羅列でよいなら、本というよりもこんなサイトの「目次」でどうですか?

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https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6_(%E6%95%99%E7%A7%91)


「中身・解説も含めて概観」というのであれば、こんなのもでしょうか? 私は読んでいないので何とも評価できませんが。
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中学、高校はレベルが違いすぎるので、分けて考えた方がよいでしょう。
中学は対象・範囲が決まっているので、たくさんあるようです。
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