有効数字とは？

Question

有効数字って何ですか？

学校のワークをやっていたら、急に習ったことの無い
『有効数字』という言葉が出てきました。

どのサイトも書いてあることが難しくて分かりません。

ちなみに、私は中三なので、中三が分かるくらいの
文章でお願いします。

Mr_Holland · Accepted Answer

『有効数字』はＨ２１年度から中１数学に移行措置で追加されたものです。
　ですので、質問者さんが新中３年生でしたら、中１数学　移行措置用のテキストに書かれていると思いますよ。
　（単元名は教科書によって異なると思いますが、「資料の活用」などという単元の中に書かれていると思います。）
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/ikou/008.pdf

ちなみに、ネットにも分かりやすいものがありますよ。
http://www.kyougaku-kenkyuusha.co.jp/pdf/ts1.pdf
　１２頁、１４頁の例題３（３）、１６頁の類題３（３）を見て下さい。

windwald · Answer

有効数字とは「有効な数字」です。
たとえば、ある鉛筆の長さをモノサシではかった時を考えます。
モノサシには目盛りがついていますが、その目盛りの1/10までは測定者が読み取れます。
1cm間隔に目盛りの入ったモノサシで(つまり0.1cmまでを正確に)測定した結果、
15cmぴったりに見える長さだったとき、この長さを15.0cmと表します。
また、10cm間隔に目盛りの入ったモノサシで(つまり1cmまでを正確に)測定した結果、
10cmと20cmの目盛りの半分くらいに見えたとき、この長さを15cmと表します。
数学や算数では15＝15.0ですが、有効数字として表す意味は異なります。
「どこまでの精度で測定したか」です。

このように、測定した値とそれを元に計算する場合に用いる方法ですので、
数学を除く自然科学の計算と非常に親和性があります。
数学では実際の測定と言うよりは、そのような誤差が排除できたとしての世界ですし、
お金の計算に利用するのは全く不向きです。

しかし問題の表現はよろしくないですね。
「有効数字が１、８、０であるとして、」
だなんて言い方は有効数字を普段から使い慣れていない人間ですね。
数学畑の人間でしょうか。
ふつうは「1800mを有効数字３桁で表せ」と単純に言います。
上から３桁分の精度ではかったんだよ、と。

ただ、私の記憶では、そんなに遠くない昔、小学校で習ったような。
「上から３桁のおよその数」と言う表現でしたが。
＃有効数字は「およその数」などではなく、むしろ測定結果とその精度を示す正確な値です。

htms42 · Answer

授業でやる予定のものでしたら授業でやるのを待っているのがいいでしょう。
授業とは別にやるという必要はないと思います。

ご質問の有効数字というのは物理や化学で出てくる有効数字です。
（この有効数字は元をたどればガウスの「誤差論」あたりが源になるでしょう。歴史は古いです。）
測定が前提で出てくる数字は全て有効数字の対象になります。
その数字の信頼性を「有効数字２桁である」とか「有効数字は３桁である」と表現します。
ご質問の問題では「距離を測定した結果が１８００ｍである」と書かれています。でも「有効数字は頭から３つ、１，８，０である」と書かれています。これは「測定で得られた数字に数ｍのずれはあるかもしれない」ということを言っています。１．８０ｋｍと書くと分かりやすくなります。
１８００という数字を見てもどこまでが信用できる数字であるかを読み取るのは難しいです。その理由は０という数字が２つの意味を持っているからです。測定した結果が０であったという意味と位どりの０とです。位取りは単位を変えるといくらでも変わります。ｃｍに直すと０が２つ増えます。ｍｍに直すと０が３つ増えます。
（１８００ｍの距離の測定でｃｍまでの精度を得ることは普通、不可能です。）
ａ×１０^nという表現は測定によって分かった値と位どりの数字とを区別するためのものです。
ａを０＜ａ＜１としておくのは他の測定で得られた数字と比較する時のことを考えてのものです。
（この時のａの桁数が精度を表します。有効数字は～桁であるという表現になります。）
１．８０×１０００のことを１．８０×１０^3と書きます。
１０^3は１０を３回かけた数字という意味です。１０の右肩に小さな３を書きます。
（コンピュータでは小さな３を書くことができませんので^という記号を使って右肩に乗っているということを表します。）

有効数字と有効数字の計算には規則があります。
計算の結果出てきた数字にどういう意味があるか、計算する時にどういう注意が必要かについてのものです。
これは興味があれば調べてみて下さい。（知りたいというのであれば次の回答で書きます。）
足し算、引き算の場合と掛け算、割り算の場合で規則が異なります。
物理や化学のカテでの回答にも間違ったものが結構あります。
多くはこの２つの区別ができていないということによるものです。

普通出てくる数字は有効数字４桁以内です。２桁、３桁ぐらいが普通です。有効数字５桁以上の数字を出してきている回答は信用しない方がいいと言ってもいいでしょう。世界最高の水準で測定したとしても５桁、６桁ぐらいなんです。高校生が普通にやる実験での精度であれば１０％以下に収まればいい方でしょう。
１％の精度で結果が出ていればかなり丁寧にやった実験です。
１ｍの高さからパチンコ玉を落として、下に置いてあるパチンコ玉に当てることを考えてみて下さい。
真上だと思っていてもかなりずれています。１ｃｍぐらい簡単にずれます。なかなか当たりません。
これで１ｍに対して１ｃｍのずれがどの程度のものかというイメージが取れるでしょう。
長さの測定で１ｍに対して１ｃｍというのは難しい精度ではありません。ｍｍまでは行けるでしょう。でも「真上」の判断では１ｍに対して１ｃｍは結構難しいのです。

応用数学の分野（数値計算法）の中でも「有効数字」が出てきます。これは測定には関係ありません。コンピュータの内部処理などで数字の受け渡しによって生じる誤差の影響を出来るだけ少なくするにはどうすればいいのかというような場面が前提になっています。これはＪＩＳに規定が載っていますので有効数字だというとこのことだと思っている人がいます。（特に工業系の人には多いです。）
物理や化学での有効数字と、数値計算での有効数字とを混同している人もいますから注意が必要です。
中学校の先生や塾の先生でも怪しいかもしれません。（私の近くにいた理科の先生には怪しい人がたくさんいました。）

htms42 · Answer

中学校では普通出てきませんね。
どういう文脈で出てきたものでしょうか。
それを書いてもらうと説明をすることができると思います。

数学のコーナーに質問すると数学の分野（応用数学の分野）での有効数字の説明が返ってくるでしょう。

物理や化学のコーナーで質門すると測定を前提とした、信頼できる数字の桁の数だという説明が返ってくるはずです。

同じ言葉を使っていますが意味は異なります。

9101011120 · Answer

簡単に言えば、ゼロでない数が何桁か、ということです。

たとえば、8.69を有効数字2桁で表すとしたら、小数第二位を四捨五入して　8.7
　　　逆に、5を有効数字2桁で表すならば、　5.0　と桁数を2に固定しなければなりません。
また、0.0243を有効数字2桁で表すのならば、　0.0ではなく、　0.024 (3は四捨五入)となります。つまり、大きいくらいから数えてゼロでない数が初めて現れてからの桁数を決めて、それを越したらそれ以下は四捨五入で答えるということです。

2.3768　有効数字3桁　ならば　2.38 (6を四捨五入)
0.023791　有効数字3桁　ならば　0.0238 (9を四捨五入)　※2.38×10^-2でもよい。
0.1　有効数字3桁　ならば　0.100　(初めて現れた1から3桁分)

有効数字とは？

『有効数字』はＨ２１年度から中１数学に移行措置で追加されたものです。

有効数字とは「有効な数字」です。

授業でやる予定のものでしたら授業でやるのを待っているのがいいでしょう。

中学校では普通出てきませんね。

この回答への補足

簡単に言えば、ゼロでない数が何桁か、ということです。

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