有効数字って何ですか?

学校のワークをやっていたら、急に習ったことの無い
『有効数字』という言葉が出てきました。


どのサイトも書いてあることが難しくて分かりません。

ちなみに、私は中三なので、中三が分かるくらいの
文章でお願いします。

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科学 計算」に関するQ&A: 科学計算

A 回答 (5件)

 『有効数字』はH21年度から中1数学に移行措置で追加されたものです。


 ですので、質問者さんが新中3年生でしたら、中1数学 移行措置用のテキストに書かれていると思いますよ。
 (単元名は教科書によって異なると思いますが、「資料の活用」などという単元の中に書かれていると思います。)
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youry …

 ちなみに、ネットにも分かりやすいものがありますよ。
http://www.kyougaku-kenkyuusha.co.jp/pdf/ts1.pdf
 12頁、14頁の例題3(3)、16頁の類題3(3)を見て下さい。
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この回答へのお礼

分かりやすかったです。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 13:44

有効数字とは「有効な数字」です。


たとえば、ある鉛筆の長さをモノサシではかった時を考えます。
モノサシには目盛りがついていますが、その目盛りの1/10までは測定者が読み取れます。
1cm間隔に目盛りの入ったモノサシで(つまり0.1cmまでを正確に)測定した結果、
15cmぴったりに見える長さだったとき、この長さを15.0cmと表します。
また、10cm間隔に目盛りの入ったモノサシで(つまり1cmまでを正確に)測定した結果、
10cmと20cmの目盛りの半分くらいに見えたとき、この長さを15cmと表します。
数学や算数では15=15.0ですが、有効数字として表す意味は異なります。
「どこまでの精度で測定したか」です。

このように、測定した値とそれを元に計算する場合に用いる方法ですので、
数学を除く自然科学の計算と非常に親和性があります。
数学では実際の測定と言うよりは、そのような誤差が排除できたとしての世界ですし、
お金の計算に利用するのは全く不向きです。

しかし問題の表現はよろしくないですね。
「有効数字が1、8、0であるとして、」
だなんて言い方は有効数字を普段から使い慣れていない人間ですね。
数学畑の人間でしょうか。
ふつうは「1800mを有効数字3桁で表せ」と単純に言います。
上から3桁分の精度ではかったんだよ、と。

ただ、私の記憶では、そんなに遠くない昔、小学校で習ったような。
「上から3桁のおよその数」と言う表現でしたが。
#有効数字は「およその数」などではなく、むしろ測定結果とその精度を示す正確な値です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 13:43

授業でやる予定のものでしたら授業でやるのを待っているのがいいでしょう。


授業とは別にやるという必要はないと思います。

ご質問の有効数字というのは物理や化学で出てくる有効数字です。
(この有効数字は元をたどればガウスの「誤差論」あたりが源になるでしょう。歴史は古いです。)
測定が前提で出てくる数字は全て有効数字の対象になります。
その数字の信頼性を「有効数字2桁である」とか「有効数字は3桁である」と表現します。
ご質問の問題では「距離を測定した結果が1800mである」と書かれています。でも「有効数字は頭から3つ、1,8,0である」と書かれています。これは「測定で得られた数字に数mのずれはあるかもしれない」ということを言っています。1.80kmと書くと分かりやすくなります。
1800という数字を見てもどこまでが信用できる数字であるかを読み取るのは難しいです。その理由は0という数字が2つの意味を持っているからです。測定した結果が0であったという意味と位どりの0とです。位取りは単位を変えるといくらでも変わります。cmに直すと0が2つ増えます。mmに直すと0が3つ増えます。
(1800mの距離の測定でcmまでの精度を得ることは普通、不可能です。)
a×10^nという表現は測定によって分かった値と位どりの数字とを区別するためのものです。
aを0<a<1としておくのは他の測定で得られた数字と比較する時のことを考えてのものです。
(この時のaの桁数が精度を表します。有効数字は~桁であるという表現になります。)
1.80×1000のことを1.80×10^3と書きます。
10^3は10を3回かけた数字という意味です。10の右肩に小さな3を書きます。
(コンピュータでは小さな3を書くことができませんので^という記号を使って右肩に乗っているということを表します。)

有効数字と有効数字の計算には規則があります。
計算の結果出てきた数字にどういう意味があるか、計算する時にどういう注意が必要かについてのものです。
これは興味があれば調べてみて下さい。(知りたいというのであれば次の回答で書きます。)
足し算、引き算の場合と掛け算、割り算の場合で規則が異なります。
物理や化学のカテでの回答にも間違ったものが結構あります。
多くはこの2つの区別ができていないということによるものです。

普通出てくる数字は有効数字4桁以内です。2桁、3桁ぐらいが普通です。有効数字5桁以上の数字を出してきている回答は信用しない方がいいと言ってもいいでしょう。世界最高の水準で測定したとしても5桁、6桁ぐらいなんです。高校生が普通にやる実験での精度であれば10%以下に収まればいい方でしょう。
1%の精度で結果が出ていればかなり丁寧にやった実験です。
1mの高さからパチンコ玉を落として、下に置いてあるパチンコ玉に当てることを考えてみて下さい。
真上だと思っていてもかなりずれています。1cmぐらい簡単にずれます。なかなか当たりません。
これで1mに対して1cmのずれがどの程度のものかというイメージが取れるでしょう。
長さの測定で1mに対して1cmというのは難しい精度ではありません。mmまでは行けるでしょう。でも「真上」の判断では1mに対して1cmは結構難しいのです。

応用数学の分野(数値計算法)の中でも「有効数字」が出てきます。これは測定には関係ありません。コンピュータの内部処理などで数字の受け渡しによって生じる誤差の影響を出来るだけ少なくするにはどうすればいいのかというような場面が前提になっています。これはJISに規定が載っていますので有効数字だというとこのことだと思っている人がいます。(特に工業系の人には多いです。)
物理や化学での有効数字と、数値計算での有効数字とを混同している人もいますから注意が必要です。
中学校の先生や塾の先生でも怪しいかもしれません。(私の近くにいた理科の先生には怪しい人がたくさんいました。)
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この回答へのお礼

ちょっと、中学生には難しい文章でした。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 13:45

中学校では普通出てきませんね。


どういう文脈で出てきたものでしょうか。
それを書いてもらうと説明をすることができると思います。

数学のコーナーに質問すると数学の分野(応用数学の分野)での有効数字の説明が返ってくるでしょう。

物理や化学のコーナーで質門すると測定を前提とした、信頼できる数字の桁の数だという説明が返ってくるはずです。

同じ言葉を使っていますが意味は異なります。

この回答への補足

数学のワークなのですが、
下記の様な問題です。

ある2点間の距離を測り、測定値1800mを得た。
有効数字が1、8、0であるとして、
この測定値をa×10n(10にかかっている、nは平方です。)
aは整数部分が1ケタの小数の形で答えなさい。

という問題です。
文章全体の意味が分からないのですが…

※移行措置で追加された内容らしいです…


有効数字の意味だけではなく、
できたら、この問題の解き方等も
お願いします

補足日時:2011/04/23 14:22
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簡単に言えば、ゼロでない数が何桁か、ということです。



たとえば、8.69を有効数字2桁で表すとしたら、小数第二位を四捨五入して 8.7
   逆に、5を有効数字2桁で表すならば、 5.0 と桁数を2に固定しなければなりません。
また、0.0243を有効数字2桁で表すのならば、 0.0ではなく、 0.024 (3は四捨五入)となります。つまり、大きいくらいから数えてゼロでない数が初めて現れてからの桁数を決めて、それを越したらそれ以下は四捨五入で答えるということです。

2.3768 有効数字3桁 ならば 2.38 (6を四捨五入)
0.023791 有効数字3桁 ならば 0.0238 (9を四捨五入) ※2.38×10^-2でもよい。
0.1 有効数字3桁 ならば 0.100 (初めて現れた1から3桁分)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/01 13:43

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Qこの物理の問題の計算方法を教えて欲しいです。次の測定値の計算を有効数字に注意してせよ。 (1)23

この物理の問題の計算方法を教えて欲しいです。次の測定値の計算を有効数字に注意してせよ。

(1)238.28g+0.0236g+1.5792g

(2)5.26m÷979.25s

(3)426.50cm×0.25cm

(4)313m÷0.00231m

(5)85.2g÷62.1cm三乗

計算のやり方お願いします。

Aベストアンサー

>計算のやり方お願いします。

単なる算数の問題です。
「有効数字」をきちんと復習してください。

加減算は「最小の位」、乗除算は「最小の桁の数」を合わせます。

(1)238.28g+0.0236g+1.5792g = 239.8828 (g)

 ただし、最初の項は、誤差を
  238.28 ± 0.005
だけ持っていると考えられるので、小数点第3位以下は「ほとんど誤差」です。

 従って、有効数字を考慮した答えは
  約 239.88 g

(2)5.26m÷979.25s = 0.0053714577・・・ (m/s)

 ただし、最初の項は、誤差を
  5.26 ± 0.005
だけ持っていると考えられるので、4桁目以下は「ほとんど誤差」です。

 従って、有効数字を考慮した答えは
  約 0.00537 m/s

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 ただし、第2項は、誤差を
  0.25 ± 0.005
だけ持っていると考えられるので、3桁目以下は「ほとんど誤差」です。

 従って、有効数字を考慮した答えは
  約 110 cm²

(4) 313m÷0.00231m = 135,497.835497・・・ 

 ただし、第1項、第2項とも有効桁数は3桁と考えられるので、4桁目以下は「ほとんど誤差」です。

 従って、有効数字を考慮した答えは
  約 1.35 × 10⁵

(5) 85.2g÷62.1cm³ = 0.016103059・・・ (g/cm³)

 ただし、第1項、第2項とも有効桁数は3桁と考えられるので、4桁目以下は「ほとんど誤差」です。

 従って、有効数字を考慮した答えは
  約 1.61 × 10^(-2) g/cm³

>計算のやり方お願いします。

単なる算数の問題です。
「有効数字」をきちんと復習してください。

加減算は「最小の位」、乗除算は「最小の桁の数」を合わせます。

(1)238.28g+0.0236g+1.5792g = 239.8828 (g)

 ただし、最初の項は、誤差を
  238.28 ± 0.005
だけ持っていると考えられるので、小数点第3位以下は「ほとんど誤差」です。

 従って、有効数字を考慮した答えは
  約 239.88 g

(2)5.26m÷979.25s = 0.0053714577・・・ (m/s)

 ただし、最初の項は、誤差を
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Q測定誤差や有効数字は厳しく指導すべきか

私は算数の授業で厳しく指導すべきだと考えます。
このため測定機器はディジタル式ではなくアナログ式を用いさせるべきだと考えます。

Aベストアンサー

以前は実験器具が職人さんの手作りでその目盛も職人さんがガラスにヤスリで傷を付けたものでした
また、計算機もなかったころは筆算の回数や無駄な桁数が多すぎると大変な負担でした
対数表や計算尺も使いながら検算も大変でした
時代は変わって今や大学以上では計算途中では有効数字は考慮せず、無駄な桁を引きずりながら次々に計算を繰り返し、最後だけに有効数字を考慮して実験データにしています
そのようなソフトもあるようです
例えれば自動車エンジンの構造を知らなくても運転できるようなものです

教育とは道徳です

今は事情が変わっていても過去の先人の歴史は体験するとよりわかりやすいかもしれません
受験の効率だけを考えると、このようなことを初等教育の段階で教えることは効率が悪いと批判はあるかもしれませんが、必要です
最先端の現場でも近似は適当に勘だけで決めていません
計算尺や対数表がなくなって対数の意味がわかりにくくなっていますし、分光学では読めるが原理がわかっていない
このように言うと何もかも教えることになってしまいますので、教師の裁量で限られた時間内で選択的に教えることになるでしょう
有効数字や誤差のことだけが、指導要領を越えて教えるべき特権があるとは思いませんが、このことは理解不足な学生があまりにも多すぎます
理系離れを防ぐと称して面白さだけを取り入れるのでは真に優秀な人材は育たない

以前は実験器具が職人さんの手作りでその目盛も職人さんがガラスにヤスリで傷を付けたものでした
また、計算機もなかったころは筆算の回数や無駄な桁数が多すぎると大変な負担でした
対数表や計算尺も使いながら検算も大変でした
時代は変わって今や大学以上では計算途中では有効数字は考慮せず、無駄な桁を引きずりながら次々に計算を繰り返し、最後だけに有効数字を考慮して実験データにしています
そのようなソフトもあるようです
例えれば自動車エンジンの構造を知らなくても運転できるようなものです

教育と...続きを読む

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今日、物理のテストがあり、答えを「有効数字2桁で答えよ。」と書いてありました。
答えが「62」の場合は「62」のままでいいのでしょうか?
また、答えが「2300」の場合は「2.3✖10^3」でいいのでしょうか?
答える方法が分からなくて、困ったので質問をしました。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

62は、有効数字が2桁です。明確にしたいときは62.と書く場合もあります。
2300は、有効数字が4桁であることを示していますから、誤りです。
  厳密には判断できない。
  この場合のように「結果を有効数字二桁で示しなさい」では誤りです。
  ポンと数字が示されたときは、判断が出来ません。もちろん2300.と書けば4桁

 23×10²、あるいは、2.3×10³と書きます。

 なお科学的記数法で記述すると、
6.2×10
2.3×10³
 先生によると、有効数字=科学的記数法(指数表記)と思われている方も多々見かけますので、
6.2×10
2.3×10³
が無難でしょうね。(^^)
 もし、62でダメといわれたら、
・0ではない数字より左に0がある場合、その0は有効桁数に含まれない。
  0.000062 は有効数字2桁
・小数点より右の0は有効数字の桁数に含まれる
  62.0 の0は含まれて、3桁
というルールを示す。
 ⇒有効数字 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%8A%B9%E6%95%B0%E5%AD%97 )

62は、有効数字が2桁です。明確にしたいときは62.と書く場合もあります。
2300は、有効数字が4桁であることを示していますから、誤りです。
  厳密には判断できない。
  この場合のように「結果を有効数字二桁で示しなさい」では誤りです。
  ポンと数字が示されたときは、判断が出来ません。もちろん2300.と書けば4桁

 23×10²、あるいは、2.3×10³と書きます。

 なお科学的記数法で記述すると、
6.2×10
2.3×10³
 先生によると、有効数字=科学的記数法(指数表記)と思われている方も多々見かけますの...続きを読む

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2,3,5,7,11,13,,,
素数なんか該当例だと思います。他にはないですか?

Aベストアンサー

>2,3,5,7,11,13,,,
>素数なんか該当例だと思います。
5+11=3+13=16 だけどいいの?

>他にはないですか?
一番簡単なのは、1,2,4,8,16,32,・・・・ でしょう。


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